“几何数论”的版本间的差异
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2021年6月6日 (日) 04:55的最后版本
几何数论（英语：geometric number theory），应用几何方法研究某些数论问题的数论分支。又称数的几何。它开始于17～18世纪间J.-L.拉格朗日和C.F.高斯等以几何观点研究二次型的算术性质的工作，最终于19世纪末叶由于H.闵可夫斯基的奠基性工作而创立，并且成为丢番图逼近，代数数论研究的重要工具。
用Rn表示n维实欧几里得空间，Rn中坐标(x1,x2,…,xn)为整数的点x称为(n维)整点（或格点）。对于Rn的子集K，若x∈K则必有−x∈K，那么，称K关于原点对称（简称对称）。如果连接K中任何两点的线段均含在K中，则称K为凸集。闵可夫斯基研究了对称凸集的基本性质，得到数的几何第一基本定理：如果Rn的子集K是体积为V（可能为无穷）的对称凸集，且V≥2n，那么，在K内或边界上必有一个非零整点。由此可得闵可夫斯基线性型定理：设c1,…,cn是正实数，aij(1≤i,j≤n)是实数，如果c1·…·cn≥
，那么，存在非零整点 x=( x1,…, xn)满足不等式组
≤ c 1， ＜ c i，（ i＝2,…, n）
应用这个定理可以得到丢番图逼近的一系列结果。例如，对于 n个实数 a1,…, an，若其中至少有一个无理数，则有无穷多个有理数组( p1 / q,…, pn/ q)，适合
＜ q －(1＋1/n)，(1≤ i≤ n)。此外，上述定理还可用来解决 代数数域 的基本单位问题。
闵可夫斯基还研究了K中所含线性无关的整点的分布，所得结果称为数的几何第二基本定理。20世纪70年代W.M.施密特以它为主要工具解决了实代数数联立有理逼近问题。
数的几何还研究用给定凸集覆盖或填装某个集合的问题，它们在编码理论和离散数学中有实际应用。
