“拓扑学”的版本间的差异

2015年11月30日 (一) 01:04的版本

　　拓扑学（汉语拼音：Tuopuxue；英语：Topology），数学中研究连续性现象的分支学科。拓扑学研究拓扑空间在同胚（拓扑）变换下不变的性质。同胚变换是指连续变换，且其逆映射也存在连续。从直观上看是研究图形在这样的形变下保持不变的性质：图形可作任意弯曲、拉大或缩小形变，只要形变过程中原来的点不粘为一点，也不产生新的点。拓扑学一词是由表示位置的拓扑斯（Topos）和表示理念意义的词逻格斯（Logos）这两个希腊语词汇合成的。最早（1847年）用于在J.B.里斯廷的《拓扑学初步》一文中。

　　拓扑学产生于19世纪，当时分为两个分支，一为出于分析奠基工作的需要，在集合论基础上产生的点集拓扑学。二为出于几何学研究的需要而产生的组合拓扑学。前者演化为一般拓扑学。后者演化为代数拓扑学和几何拓扑学。20世纪又产生了微分拓扑学。

　　最初的拓扑学定理是1736年L.欧拉发表的关于柯尼斯堡七桥问题的解答，且给出了连通网络一笔画的充要条件。1750年他又给出了多面体的欧拉定理断言与二维球面S²同胚（即能连续形变为S²）的多面体的顶点数a₀、棱数a₁、面数a₂满足a₀－a₁＋a₂＝2，此数称为S²的欧拉示性数。用它可以证明凸正多面体只有正四面体、正八面体、正十二面体、正六面体、正二十面体五种。它在闭曲面的分类问题，四色问题的证明中都起了很大的作用。继欧拉之后，1833年前后C.F.高斯研究空间各种纽结（即打结的非自交的闭曲线），研究结能否打开；两个结能否互相形变，即纽结的等价分类问题。高斯给出了闭曲线的环绕数，这是纽结理论研究的基本工具之一。均为拓扑学萌芽阶段的研究成果。

　　1895年B.黎曼提出了黎曼面的概念。他在研究复变函数时，开始对曲面拓扑性质进行系统研究。解决了定向闭曲面的分类问题，且给出了n维流形的确切定义。

　　J.-H.庞加莱是公认的组合拓扑的奠基人。1895年他以《关于位置几何学》为题发表的数篇论文，是对拓扑空间进行代数研究的开始。

　　拓扑学的另一分支点集拓扑学渊源于数学分析奠基工作及泛函分析的产生。19世纪末G.康托尔建立了集合论，且进一步定义了欧几里得空间的开集、闭集、导集等，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。以后泛函分析的兴起，更促进了把点集当作空间来研究。

　　微分拓扑起源于庞加莱猜想，1936年H.惠特尼关于嵌入定理发表以后开始形成一个独立的数学分支。

　　拓扑学渗透到数学各分支，如同调群、同伦群的研究促进了同调代数的发展；纤维丛、微分流形，微分拓扑的研究促进了微分几何的发展；微分动力体系是微分拓扑与微分方程交叉的学科。不仅如此，拓扑学已被广泛应用于物理、化学、生物、经济等学科。纽结应用于物理及遗传工程就是其中一例。