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'''代数数'''([[英语]]:algebraic number),有理系数的一元非零多项式在[[复数]]范围内的零点,也就是次数不小于1的有理系数的代数方程的复数根。多项式乘以一个非零常数其零点不变,所以也可以限定这里的多项式的首项系数为1。不是代数数的复数称为[[超越数]]。 设α是一个代数数,则所有以α为零点的首项系数为1的有理系数多项式中的次数最低者,是被α唯一决定的,此多项式称为α的极小多项式。极小多项式在有理系数多项式范围内必定是不可约的(即不可表示为两个次数均≥1的有理系数多项式的乘积)。α的极小多项式的次数称为α的次数。α的极小多项式的其他的根称为与α共轭的代数数。显然,一次代数数就是[[有理数]]。所以代数数是有理数的推广。 α是二次代数数的充要条件是它可表示为 [[文件:二次代数数.jpg|center|80px|]] ,其中 d是不等于1且无平方因数的整数,r, s是有理数且 s 不等于0。 代数数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是代数数。所以复数[[集合]]中代数数的全体构成一个域,称为有理数域的代数闭包。以代数数为系数的一元非零多项式的零点一定也是代数数。 满足形如a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+…+a<sub>1</sub>x+a<sub>0</sub>=0(n≥1,a<sub>n</sub>≠0)的某整系数代数方程的[[实数]]或[[复数]]。例如[[文件:代数数1.jpg]]是一个实代数数,它满足方程x<sup>2</sup>-2=0。每个[[有理数]][[文件:代数数2.jpg]](m,n为整数,n≠0)都是代数数,因为它满足方程nx-m =0。可见代数数集包含了有理数集。然而,代数数集并不包含全部实数。代数数集是一个可数集,即所有代数数能与全体[[自然数]]建立一一对应,而实数集是不可数的无穷集,因此,一定存在不是代数数的实数。现已证明 π和e这些无理数不是代数数。不是代数数的数称为[[超越数]]。由此可见,就实数集而言,实数既可按有理数和无理数分为两类,又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] *[[代数几何学]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:中文词典]] [[Category:D音词语]] [[Category:代]]
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