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'''概率数论'''([[英语]]:probabilistic number theory),综合应用[[数论]]和[[概率]]方法研究数论函数值分布的数论研究领域。是[[概率论]]对[[解析数论]]的重要应用,又称'''数的概率理论'''。它的一个中心问题是对于数论函数f(n)寻找使频率ν<sub>x</sub>(n;f(n)-α (x)≤z β(x))具有一个极限分布(当x→∞)的充要条件,此处ν<sub>x</sub>(n;A )表示频率[x]<sup>−1</sup>N<sub>x</sub>(n;A ),而N<sub>x</sub>(n;A )表示在区间[1,x]中具有性质A 的正整数n的个数,α(x)和β(x)>0是适当选取的函数。 概率数论开始于1917年[[G.H.哈代]]和[[S.A.拉马努金]]关于数论函数ω(n)的研究,此处ω(n)表示n的不同素因子的个数,如ω(1)=0,ω(2)=1,ω(20)=2,ω(30)=3,ω(p)=1,ω(p<sub>1</sub>·…·p<sub>s</sub>)=s(此处p为素数,p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>为不同的素数),因此ω(n)(n=1,2,…)的分布很不规则,它可以取任意大的整数值,而又无穷多次取值1,2,3等,因此研究ω(n)的值分布就从研究ω(n)在[1,x]中的期望值入手。这个期望值渐近地等于 [[文件:概率数论1.jpg|center|110px|]] 。哈代和拉马努金证明了 [[文件:概率数论2.jpg|center|400px|]] 其中 ψ( y)是任何当 y趋于无穷亦趋于无穷的函数。因此在 ω( n)(1≤ n≤ x)中只有极少数是偏离 lnln x的。1934年[[P.图兰]]给出上述结果的一个新证明。其后,[[爱尔特希]]和[[M.卡茨]]发展了他的方法,于1939年证明了中心极限定理:设 f(n)是一个强加性函数,即当(m, n)=1时, f(m n)= f( m)+ f( n),且 f( p<sup>k</sup>)= f ( p),其中 k=1,2,…,并且| f( p)|≤1,又令 [[文件:概率数论3.jpg|center|360px|]] ,则当 B(x)→∞(当x→∞)时, [[文件:概率数论4.jpg|center|360px|]] 它被称为 爱尔特希–卡茨定理。特别取 f( n)= ω( n),则得 [[文件:概率数论5.jpg|center|360px|]] 对概率数论做过重要贡献的还有[[I.P.库比柳斯]]、[[M.B.巴班]]、[[A.温特纳]]及[[P.D.T.A.埃利奥特]]等人。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] *[[数论]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:数论]] [[Category:中文词典]] [[Category:G音词语]] [[Category:概]]
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