代数K理论

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代数K 理论英语:algebraic K-theory),20世纪60年代兴起的一个新代数学分支。它主要研究对环定义的一些交换群:K0群,K1群,K2群,Kn群(n为整数)以及相应的函子K0,K1,K2及Kn(其中K0,K1,K2为研究重点)的理论。

环R的K0群K0(R)可由R上的有限生成投射模〔有限生成自由模(即有有限基的模)的直和项〕的同构类来定义,对K0(R)的研究起源于A.格罗森迪克关于推广代数几何中的黎曼–罗赫定理的工作。对数域的代数整元环A,K0(A),Z⊕Cl(A),其中Z为整数加群,Cl(A)为A的理想类群,其元素个数称为A的类数,在数论中关于A的因子分解唯一性研究中起着重要的作用。

对任意的n,Rn上一般线性群(可逆矩阵群)GLn(R)主对角线上添上∞个1,其他位置加0即得GL(R)。GL(R)的阿贝尔化GL(R)/[GL(R),GL(R)]([A,B]≡ABA−1B−1)即为K1(R)。取出R上初等矩阵的三个运算公式作为{xij(a)∣i≠j,a∈R}的运算公式得到一个群St(R),此群到R上初等矩阵群E(R)的标准同态(xij(a)→eaij)之核为一个阿贝尔群,此即K2(R)。利用拓扑方法可定义Kn(R)。

代数K理论在群论环论代数几何代数数论以及算子代数中都有重要应用。

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