偏微分方程

　　偏微分方程（partial differential equation），含有未知函数及其各阶偏导数的方程。如：

　　　　ut－a²（u_xx＋u_yy＋u_zz）＝0　（1）

　　其中u＝u（x，y，z，t）为未知函数，x，y，z，t是自变量。

　　18世纪，数学家们已开始用偏微分方程来研究问题。方程（1）便是用来描述热的传导规律的。1746年，J.LeR.达朗贝尔给出了一维波动方程（两端固定的弦的振动问题）：

　　　　　（2）

　　由于弦的两端固定，故在x＝0和x＝l处（l为弦的长度）应满足边界条件：

　　　　u（0，t）＝0　u（l，t）＝0　t≥0　（3）

　　又当t＝0时的状态，即初始条件是

　　　　u（0，x）＝φ（x）　ut（0，x）＝ψ（x）　（4）

　　一般，每个偏微分方程有许多解，且含有任意函数，一阶方程的解含有一个任意函数，二阶方程的解含有两个任意函数，例如（2）有解u＝f（x－at）＋g（x＋at），其中f（x）、g（η）是二次可微的函数。通常，更注重求满足某些附加条件的特解：未知函数在初始时刻所满足的条件叫初始条件，如（4），在所给区域边界上所满足的条件叫边界条件，如（3），初始条件和边界条件统称定解条件，这都要由实际问题来确定。求方程满足初始条件的定解问题叫初值问题或柯西问题，只含边界条件的定解问题叫边值问题，既有初始条件，又有边界条件的问题称为初边值问题或混合问题。如果某个解，当定解条件中的量变化不大时，解的变化也不大，就称解连续依赖于定解条件。若定解问题的解存在、唯一且连续依赖于定解条件，就称定解问题为适定的或称问题的提法是正确的。