几何拓扑学
几何拓扑学（英语：geometric topology），拓扑学的一大分支。是相对于代数拓扑学而言，并没有明确的界限。“几何”二字，有时是强调其论题的直观色彩，或强调其思路的几何风格。
早年的发展有两大支柱：一个是对于纽结和三维流形的以组合方法为主的研究，另一个是一般拓扑学中关于欧氏空间子集的研究（例如Bing学派、Borsuk学派）。
20世纪50年代，代数拓扑学与刚崛起的微分拓扑学相结合，取得了辉煌成就。60年代初，高维的庞加莱猜想得到解决以后，人们已清楚地认识到，代数拓扑学的方法在五维以下的流形中难以充分施展，对这些低维流形往往更要借助于几何手段。几何拓扑学于是日显重要。在70年代后期至80年代，三维拓扑、四维拓扑相继取得了革命性的突破，使几何拓扑学成为当代数学的主要生长点之一。
几何拓扑学的论题，大多围绕着二维、三维、四维的流形以及纽结、辫等几何对象。用到的几何方法各式各样，既包括古典几何（如双曲几何等）、微分几何（如极小曲面、曲率流、纤维丛上的联络等），也包括一些独特的、威力强大的图形演算技术(如Kirby calculus)。几何拓扑学除本身的成就外，已经推动了双曲几何的复兴，促使几何群论蓬勃发展，也为动力系统理论开辟了新的篇章。
在对三维流形（必是微分流形）的研究上，则不仅大量使用通常意义下直观的几何手法，而且利用W.P.瑟斯顿的几何化猜想，把三维拓扑与微分几何整个联系在一起。将这一几何化思想应用于研究具有双曲结构（即其上有常负的截面曲率的黎曼度量）的三维流形，已取得巨大成功。在解决四维单连通拓扑流形的分类时，M.H.弗里德曼大量使用了几何的构造。而对四维微分拓扑，取得突破性进展的唐纳森理论和萨伯格–威滕理论，微分几何学中的联络概念则是其基础。用这些理论，不仅证明了大量的四维拓扑流形不可能是微分流形，也证明了在很多四微拓扑流形，包括四维欧氏空间和某些紧致无边的四维流形上，存在无限多个不等价的微分构造。
