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'''[[几何数论]]'''([[英语]]:geometric number theory),应用几何方法研究某些数论问题的[[数论]]分支。又称[[数的几何]]。它开始于17~18世纪间[[J.-L.拉格朗日]]和[[C.F.高斯]]等以几何观点研究二次型的算术性质的工作,最终于19世纪末叶由于[[H.闵可夫斯基]]的奠基性工作而创立,并且成为[[丢番图逼近]],[[代数数论]]研究的重要工具。 用'''R'''<sup>n</sup>表示n维实欧几里得空间,'''R'''<sup>n</sup>中坐标(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,…,x<sub>n</sub>)为整数的点'''x'''称为(n维)整点(或格点)。对于'''R'''<sup>n</sup>的子集K,若'''x'''∈K则必有−'''x'''∈K,那么,称K关于原点对称(简称对称)。如果连接K中任何两点的线段均含在K中,则称K为凸集。闵可夫斯基研究了对称凸集的基本性质,得到数的几何第一基本定理:如果'''R'''<sup>n</sup>的子集K是体积为V(可能为无穷)的对称凸集,且V≥2<sup>n</sup>,那么,在K内或边界上必有一个非零整点。由此可得闵可夫斯基线性型定理:设c<sub>1</sub>,…,c<sub>n</sub>是正实数,a<sub>ij</sub>(1≤i,j≤n)是实数,如果c1·…·cn≥ [[文件:几何数论1.jpg|center|100px|]] ,那么,存在非零整点 '''x'''=( x<sub>1</sub>,…, x<sub>n</sub>)满足不等式组 [[文件:几何数论2.jpg|center|100px|]] [[文件:几何数论3.jpg|center|100px|]] ≤ c 1, < c i,( i=2,…, n) 应用这个定理可以得到[[丢番图逼近]]的一系列结果。例如,对于 n个实数 a<sub>1</sub>,…, a<sub>n</sub>,若其中至少有一个无理数,则有无穷多个有理数组( p<sub>1</sub> / q,…, p<sub>n</sub>/ q),适合 [[文件:几何数论4.jpg|center|120px|]] < q -(1+1/n),(1≤ i≤ n)。此外,上述定理还可用来解决 代数数域 的基本单位问题。 闵可夫斯基还研究了K中所含线性无关的整点的分布,所得结果称为数的几何第二基本定理。20世纪70年代[[W.M.施密特]]以它为主要工具解决了实代数数联立有理逼近问题。 数的几何还研究用给定凸集覆盖或填装某个集合的问题,它们在[[编码理论]]和[[离散数学]]中有实际应用。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] *[[计算数学]] *[[数论]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:计算数学]] [[Category:数论]] [[Category:中文词典]] [[Category:J音词语]] [[Category:几]]
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