函数空间

　　函数空间（functional space），由定义在一般集合上的函数组成的集合，并且在集合中装备了一定的几何结构。例如取X＝｛f∶f为定义在［a，b］上的连续函数｝，f∈X，定义‖f‖＝｜f（t）｜，称之为f的范数，范数是通常长度概念的拓广，利用范数可定义X中任何两个元素（或点）之间的距离ρ（f，g）＝‖f－g‖，则X就是一个函数空间，在X中可以谈论点列（即函数列）的收敛问题：｛fn｝X，f∈X，fn→f，当且仅当ρ（fn，f）＝‖fn－f‖＝｜fn（t）－f（t）｜→0。此外，还可在X中规定加法和数乘运算如下：f，g∈X，α∈IR，则定义（f＋g）（t）＝f（t）＋g（t），（αf）（t）＝α·f（t），则X是一个线性空间，事实上X为一完备的线性赋范空间，即巴拿赫空间。常用的函数空间不一定有以上空间那样好的性质，但一般来说为线性拓扑空间，空间中的元素不仅满足线性关系，并且线性运算关于拓扑是连续的，有可能研究连续、有界、可微等分析性质。