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'''初等数论'''([[英语]]:elementary number theory ),研究数的规律,特别是整数性质的[[数学]]分支。是[[数论]]的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。 === 历史 === 古[[希腊]]毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数(如亲和数、完全数、多边形数)及特殊不定方程的研究。公元前4世纪,欧几里德的《几何原本》通过102个命题,初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明,被认为是数学证明的典范。公元3世纪,丢番图研究了若干不定方程,并分别设计巧妙解法,故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来,P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就,《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比[[欧洲]]早500年, 西方常称此定理为中国剩余定理,秦九韶的大衍求一术也驰名世界。 === 内容 === 初等数论有以下几部分内容: 1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有:唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。 2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果:二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理(即中国剩余定理)等等。 3.连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果:循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。 4.不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程,比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。 5.数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。 6.高斯函数。 === 应用 === 初等数论不仅是研究纯数学的基础,也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的,如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:数理逻辑]] [[Category:中文词典]] [[Category:C音词语]] [[Category:初]]
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