动力系统
动力系统(英语：dynamic system），研究只与时间有关的动态体系的数学分支。它起源于常微分方程的定性理论研究和天体力学研究，现已渗透到物理、化学、生物等许多学科领域。
自然界中有一些体系其演变过程只与时间有关，比如日月星三个星球的相对位置，当前的状态完全决定了时间t后的状态。动力系统就是描述这类动态体系的数学模型。其一般定义如下：设X包含了所考察体系的一切可能状态。又设φt：X→X是依赖时间t∈R的、X到自身的映射。若φt(x)对(t, x)而言是连续的，且对一切x∈X有
那么 φt：X→ X就称为一个动力系统。当 x∈ X固定，而 t∈ R变化时，集合{ φt(x)}称为 x的轨道。动力系统研究的内容之一是考察 t →3时的轨道行为。
满足一定条件的一个常微分方程组。考虑dx/dt＝X（x）其中X（x）连续，x和X都是向量：X=(X1,···，Xn）T∈G⊆R n。称Rn为相空间，R×Rn叫广义相空间，t ∈R，方程组的解X＝x（t）称为运动 ，它在相空间所描出的图形叫做质点运动的轨线。以f（P，t）表示当t＝0时过P点的解，其定义区间为（－∞，＋∞）。则对每个固定的 t，f（P，t）定义了开区域G 到自身的变换，当 t∈R时，f（·，t）：G→G，或 f：G×R→G。变换f具有下述性质：①f（P，0）＝P；② f（P，t）关于P，t一并连续；③f［f（P，t1），t1］＝f（p，t1＋t2），这些变换的全体就叫做一个动力系统，或直接称x＝X（x）为动力系统。
抽象动力系统是抛开具体的微分方程，只要f是G×R到G的变换，且满足条件 ①、②、③，就称f是G上的一个动力系统，或拓扑动力系统。这是因为对固定的t，f（·，t）是从G到G自身的拓扑变换。拓扑动力系统，主要研究各种轨线的类型及它们之间的关系。为研究轨线的分类，必须研究轨线当t→±∞ 时的状况。于是有极限集、不变集、极小集等的研究 。t→＋∞时的轨线则分为正向远离的、正向渐近的及P+（泊松）稳定的，负向仿此。当然也对双侧远离，渐近和P式稳定进行研究 。具有可微性质的动力系统叫微分动力系统。它研究常微系统结构稳定性、双曲性、匀断性及Ω稳定等问题。
早在1881年，H.庞加莱就开始了常微分方程定性理论的研究，他所使用的方法、概念以及着眼点，都为后来被称做动力系统的分支奠定了基础。G.D.伯克霍夫在1912年以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究范围，其中包含了遍历性理论。在人们关心的天体力学或哈密顿系统中，后来又出现了科尔莫戈罗夫–阿诺尔德–莫塞的扭转定理。1931年，A.A.马尔可夫总结了伯克霍夫的理论，并正式提出了动力系统的抽象概念。以此为开端，动力系统理论得到新的发展。
近几十年来，动力系统的研究又发生了质的变化。这主要源于结构稳定性的研究，其中主要成果是围绕着X是紧流形的情形得出。S.斯梅尔等人关于微分动力系统的研究具有深远的影响。
