千禧年大奖难题

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千禧年大奖难题英语:Millennium Prize Problems),是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI)于2000年5月24日公布的数学难题,解题总奖金700万美元。根据克雷数学研究所制定的规则,这一系列挑战不限时间,题解必须发表在国际知名的出版物上,并经过各方验证,只要通过两年验证期和专家小组审核,每解破一题可获奖金100万美元。

这些难题旨在呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特巴黎提出的希尔伯特的23个问题(23个历史性数学难题),经过一百年,约17个难题至少已被部分解答。而千禧年大奖难题的破解,极有可能为密码学航天通讯等领域带来突破性进展。

迄今为止,在七个问题中,庞加莱猜想是唯一被解决的,2003年,俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明了它的正确性。而其它六道难题仍有待研究者探索。


希尔伯特的23个问题:

希尔伯特的23个问题,是德国数学家大卫·希尔伯特于1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。希尔伯特问题中未能包括拓扑学微分几何等领域,除数学物理外很少涉及应用数学,更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题,7-12是数论问题,13-18属于代数几何问题,19-23属于数学分析


以下是希尔伯特的23个问题:


第1题连续统假设。部分解决。

1963年美国数学家保罗·柯恩力迫法证明连续统假设不能由策梅洛-弗兰克尔集合论(无论是否含选择公理)推导。也就是说,连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。


第2题,算术公理之相容性。部分解决。

库尔特·哥德尔在1931年证明了哥德尔不完备定理,但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界没有共识。


第3题,两四面体有相同体积之证明法。已解决。

答案:否。1900年,希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的。


第4题,建立所有度量空间使得所有线段为测地线

希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。


第5题,所有连续是否皆为可微群。已解决。

1953年日本数学家山边英彦证明在无“小的子群”情况下,答案是肯定的;但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界仍有争论。


第6题,公理化物理。部分解决。

希尔伯特后来对这个问题进一步解释,而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而,尽管公理化已经开始渗透到物理当中,量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分(如量子场论),故该问题未完全解决。


第7题,若b无理数a是除01之外的代数数,那么ab是否超越数。已解决。

答案:是。分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德独立地解决


第8题黎曼猜想哥德巴赫猜想孪生素数猜想。未解决。

虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况,三个问题均仍未被解决。


第9题,任意代数数域的一般互反律。部分解决。

1927年德国的埃米尔·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的;此外的情况则尚未证明。


第10题不定方程可解性。已解决。

答案:否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。


第11题,代数系数之二次形式。部分解决。

有理数的部分由哈塞于1923年解决。


第12题,一般代数数域的阿贝尔扩张。未解决。

埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘模板:Link-en已基本解决。一般情况下则尚未解决。


第13题,以二元函数解任意七次方程。部分解决。

1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫弗拉基米尔·阿诺尔德证明对于单值解析函数,答案是否定的;然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形,因此该问题未获得完全解答。


第14题,证明一些函数完全系统(Complete system of functions)之有限性。已解决。

答案:否。1962年日本人永田雅宜提出反例。


第15题,舒伯特演算(Schubert calculus)之严格基础。部分解决。

一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。


第16题,代数曲线表面拓扑结构。未解决。

此问题进展缓慢,即使对于度为8的代数曲线也没有证明。


第17题,把有理函数写成平方和分式。已解决。

答案:是。1927年埃米尔·阿廷解决此问题,并提出实封闭域


第18题,非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列。已解决。

1911年比伯巴赫(数学家)(Ludwig Bieberbach)做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”;莱因哈特(Karl Reinhardt )证明不规则多面体亦可填满空间;托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明,并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明,证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。


第19题拉格朗日系统(Lagrangian)之解是否皆可解析。已解决。

答案:是。1956年至1958年Ennio de Giorgi和约翰·福布斯·纳什分别用不同方法证明。


第20题,所有边值问题是否都有解,已解决。

实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的,因而都可以确定是否有解。


第21题,证明有线性微分方程有给定的单值群(monodromy group)。已解决。

此问题的答案取决于问题的表述:部分情况下是肯定的,部分情况下则是否定的。


第22题,将解析关系(analytic relations)以自守函数(Automorphic function)一致化。部分解决。

1904年由保罗·克伯(Paul Koebe)和庞加莱取得部分解决。


第23题变分法的长远发展。开放性问题。

包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。


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