同调论

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同调论英语:homology theory),代数拓扑学中的一个主要组成部分,研究与同调概念有关的课题。

H.庞加莱从1895年起,为了对同调概念作一般的讨论,引进了可剖分为复形的空间,从此产生了组合拓扑学

n维单形

0维单形是一个点,一维单形是一条线段,二维单形是一个三角形,三维单形是一个四面体,n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。

定向单形

除0维单形不给定向外,其他维的单形可以有两个定向。例如,一维单形的定向可以用从起点到终点的箭头给出,二维单形的定向可以用一个旋转方向给出等。一般对于n维单形有两个定向,可以用顶点的顺序来给出。彼此相差一个偶排列的两个顺序代表同一个定向。

单纯复形

是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如,图中这个单纯复形是由4个0维单形A,B,C,D;4个一维单形AB,BD,CD,BC和1个二维单形BCD按照图中所画的关系拼凑而组成的。

单纯复形

单纯复形的n维链

形如x=α1Sn1+…+α1Sn1的线性组合叫一个n维链,式中{Sin},(i=1,2,…l)取遍单纯复形K的所有单形,且每个单形取好了定向(0维单形不取定向),αi为整数(即线性组合中的每一项是K中的一个n维定向单形,且附一个整系数)。两个n维链之和定义为一个n维链,其每项的系数是两个链的相应项的系数之和。容易验证:K的所有的n维链组成一个交换群,这个交换群叫K的n维链群,记作Cn(K)。例如,上图中的单纯复形,3(A,B)+2(B,C)-(C,D)−5(B,D)为一个一维链。

边缘算子

规定0维单形的边缘为零,一维定向单形(A,B)的边缘为B−A,二维定向单形(A,B,C)的边缘为(B,C)−(A,C)+(A,B),三维定向单形(A,B,C,D)的边缘为(B,C,D)−(A,C,D)+(A,B,D)−(A,B,C)等。可类似地定义n维定向单形的边缘。以符号∂写在定向单形的前面表示它的边缘。对于每一个n维链x=α1Sn1+…+α1Sn1,规定它的边缘

同调论1.jpg

(即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和)。不难看出,一个 n维链的边缘是一个 n−1维链。由此得到从 n维链群到 n−1维链群的同态,这个同态称为 (下)边缘算子,记作

同调论2.jpg

。边缘算子具有∂∂=0的性质。

n维闭链

满足∂x=0的n维链x叫n维闭链。例如,上图中的单纯复形,一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)就是一个一维闭链。单纯复形K的所有n维闭链所组成的交换群叫K的n维闭链群,记作Zn(K)。

n维边缘链

如果一个n维链是某一个n+1维链的边缘,则称此链为n维边缘链(即一个n维图形是n+1维图形的边缘)。例如上图中的单纯复形,一维链(C,D)−(B,D)+(B,C)=∂(B,C,D)就是一个一维边缘链。单纯复形K的所有n维边缘链所组成的交换群叫K的n维边缘链群,记作Bn(K)。由于边缘链一定是闭链,因而Bn(K)是Zn(K)的子群。

n维同调群

由于Bn(K)是Zn(K)的子群,把商群Zn(K)/Bn(K)叫作单纯复形K的n维(下)同调群,记作Hn(K)。Hn(K)中的每一个元素称为一个n维同调类。如果两个n维闭链Zn′,Zn″的差为一个边缘链时,就叫Zn′与Zn″同调。如果Zn是边缘链,则称Zn同调于零。同调群Hn(K)的秩称为K的n维贝蒂数。如果在n维链群的定义中,用任意的一个交换群G中的元素代替整数,可以得到以G为系数的n维链群Cn(K;G)。相似地有以G为系数的n维边缘群Bn(K;G),n维闭链群Zn(K;G)。由此定义以G为系数的n维同调群Hn(K;G)。

参见