复流形
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复流形（英语：complex manifold），具有复结构的微分流形，即它有一个开覆盖{Uα}，其中每一个开集Uα与n维复向量空间C n中的一个开子集同胚，从而Uα中的点具有复坐标(zn1,…,zn)，当Uα∩Uβ≠Q时对应的两套复坐标之间的坐标变换是复解析的。这里的n称为复流形的复维数。n维复流形的（实）维数是2n。
黎曼面就是一维复流形，有悠久的研究历史。一般复流形的研究开始于20世纪40年代，现已成为数学中的重要概念和课题。
最简单的复流形是复平面C和复向量空间Cn。E3中的单位球面是一维复流形，事实上对于去掉南极(0,0,−1)的球面上取复坐标u=(x+iy)/(1+z)，在去掉北极(0,0,1)的球面上取复坐标v=(x－iy)/(1－z)，则在这两个区域的公共部分有关系式u=1/v。
复流形最重要的例子是n维复射影空间CPn，它是Cn+1中全体一维复子空间的集合。CP1和作为一维复流形的单位球面（黎曼球面）是同构的。
如果在n维复流形M上有一个黎曼度量，在复坐标下可表示为ds2=gij-dzidz–j，式中gij-是埃尔米特矩阵，则称M为一个埃尔米特流形。
在埃尔米特流形上，命ω=−2igkτdzk∧dz–i，则ω是在流形上定义好的2次外微分式。如果dω=0，则称该埃尔米特流形为凯勒流形。
C n关于度量
是凯勒流形。在 C P n中有著名的富比尼–施图迪度量，使 C P n成为凯勒流形。
