巴拿赫空间

　　巴拿赫空间（英语：Banach space），赋予范数的完备的线性空间。范数是通常熟悉的长度概念的拓广。 一个数域K上的线性空间X，如有从X到R的函数‖·‖，满足:‖x‖≥0，‖x‖＝0Ûx为零元；‖a x‖＝｜a｜‖x‖， a ∈K； ‖x＋y‖ ≤ ‖x‖ ＋ ‖y‖ ，则称‖·‖为X上的一个范数。例如在R中，让每一元x与‖x‖＝｜x｜对应，这里｜x｜表示通常的绝对值，则‖·‖为R 上的一个范数。 又如，设 X ＝｛f：f为定义在 [a， b] 上的连续函数｝，在X中引入加法和数乘如下：f，g∈x，（f＋g）（t）＝f（t）＋g（t），（a f）（t）＝a·f（t），则 X成为线性空间，又对每一f ∈X，定义，则可以验证‖·‖为X上的一个范数，故X是线性赋范空间，并且每一｛fn｝X，若其为基本列，即‖fm－fn‖→0，则必有f∈x，使‖fn－f‖→0。所以X是巴拿赫空间。

　　巴拿赫空间是泛函分析研究的基本空间之一。自1922年提出巴拿赫空间的概念，尤其是自1932年，S.巴拿赫的著作《线性算子理论》问世以后，人们对巴拿赫空间理论进行了系统深入的研究，60年代以来，取得迅速发展，许多问题得到了解决。最重要的成果之一是1973年P.恩夫洛给出了例子，表明可分的巴拿赫空间不一定有基，从而对巴拿赫的古典问题以否定的回答。此外，人们从不同的角度和需要，对巴拿赫空间的理论进行了广泛深入的研究，如对偶理论、各种收敛性、算子谱论等，使巴拿赫空间的理论日臻完善，并得到多方面的广泛应用。