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'''常微分方程'''(ordinary equation),由一元函数得到的方程。即:称含有自变量,未知函数及其导数的关系式 [[文件:常微分方程1.jpg]] 为常微分方程。其中出现的最高阶导数的阶数,叫做常微分方程的阶。例如[[文件:常微分方程2.jpg]],[[文件:常微分方程3.jpg]],是一阶常微分方程,[[文件:常微分方程4.jpg]]是二阶常微分方程。 设y=[[文件:常微分方程7.jpg]](x)定义于区间J上,有直到n阶的导数,将它代入(1),使(1)变成关于x的恒等式,即 F(x,[[文件:常微分方程7.jpg]](x),[[文件:常微分方程5.jpg]],…,[[文件:常微分方程6.jpg]])≡0,x∈J 就称y=[[文件:常微分方程7.jpg]](x)为(1)的一个定义于J上的解,并称J为该解的定义区间。 最简单的微分方程[[文件:常微分方程8.jpg]],求解过程便是积分。 几种常见的初等解法(即把所给的微分方程化为积分形式)是: ①'''分离变量法'''。对微分方程[[文件:常微分方程9.jpg]]除以g(y),乘以dx化为dy/g(y)=f(x)dx此时,x和y各据一方,分离开来了,然后分别于两端对x和y积分得到“通积分”:[[文件:常微分方程10.jpg]]∫f(x)dx+c,(解y=[[文件:常微分方程7.jpg]](x)未写出,而是以隐式呈现的,就叫积分,一阶方程含有两个任意常数的解叫做通解)。 ②'''变量替换法'''。例如,齐次方程为 [[文件:常微分方程11.jpg]] 令y=xu,则[[文件:常微分方程12.jpg]],代入原式得,[[文件:常微分方程13.jpg]]=f(u)-u。这时已经是分离变量型的方程了,变量替换可把“不会解”的方程变为已知求解法的方程。 ③'''常数变易法'''。例如一阶线性方程 [[文件:常微分方程14.jpg]] 当[[文件:常微分方程15.jpg]]时,叫非齐次线性方程,[[文件:常微分方程16.jpg]]时叫齐次线性方程。 齐次方程是可分离变量的:[[文件:常微分方程17.jpg]],通解是y=Ce<sup>-∫p(x)dx</sup>,令y=c(x)e<sup>-∫p(x)dx</sup> 为(1)的解, 即c(x)这时已不再是常数,y′=c′(x)·e<sup>-∫p(x)dx</sup>-c(x)P(x)e<sup>-∫p(x)dx</sup>,代入(1)式消去两个相同的项得到c¢(x)=Q(x)。e<sup>∫p(x)d</sup>。 于是c(x)=∫Q(x)e<sup>∫p(x)dx</sup>dx+[[文件:常微分方程18.jpg]]。这时[[文件:常微分方程18.jpg]]是任意常数,最后得(2)的通解[[文件:常微分方程19.jpg]] ④'''全微分方程法'''。设给出微分方程为 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (3) 若存在一个二元函数u(x,y)=c,使 [[文件:常微分方程20.jpg]],则u(x,y)=c便是(3)的通积分。 ⑤'''积分因子法'''。当(3)不是全微分方程,但存在一个函数μ(x,y),使μ(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)dy=0是全微分方程时,则称μ(x,y)为(3)的一个积分因子,找积分因子,从而得到的解(或积分)的方法叫积分因子法。 [[文件:常微分方程21.jpg]](a≠0,1)叫伯努利方程。令u=y<sup>1-a</sup>,则可化为x和u的方程,且为线性方程,因而是可解的。 ⑥'''高阶常系数线性方程''' [[文件:常微分方程22.jpg]](其中系数a1,a2,…,an是实常数)是可解的。以二阶方程为例来说明:[[文件:常微分方程23.jpg]],(p,q为常数),它的求解归结为解代数方程:λ<sup>2</sup>+pλ+q=0,设它的二根为(a)λ<sub>1</sub>≠λ<sub>2</sub>为实数,则通解为y=c1[[文件:常微分方程24.jpg]]+c2[[文件:常微分方程24.jpg]];(b)λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub>为实数,则通解为y=(c1x<sup>1</sup>+c2)[[文件:常微分方程24.jpg]],其中c<sub>1</sub>、c<sub>2</sub>为任意常数,(c)λ<sub>1,2</sub>=α±βi为复数,则通解为y=(c<sub>1</sub>cosβx+c<sub>2</sub>sinβx)e<sup>ax</sup>。 ⑦'''化为常系数方程法'''——欧拉方程。 [[文件:常微分方程26.jpg]] 令x=e<sup>t</sup>,可化为 [[文件:常微分方程27.jpg]],这已是常系数方程了(原式中a<sub>1</sub>与a<sub>2</sub>都是常数)。 ⑧'''降阶法'''。有一些方程可通过某些变换化为较低阶方程,因而求解就方便了。例如,二阶变系数方程一般不可解:但若知方程y″+P(x)y′+q(x)y=0的一个解y=y<sub>1</sub>(x),令y=y<sub>1</sub>(x)u(x),则可化为y<sub>1</sub>u″+〔2y′<sub>1</sub>+P(x)y<sub>1</sub>〕u′=0。再令υ=u?,则得到υ(x)的一阶方程,是可解的。 ⑨'''常系数线性非齐次方程''':y″+py′+qy=r(x)。此时可用常数变易法求解(因为齐次方程可解)还可用待定系数法——当r(x)=P(x)e<sup>ax</sup>或〔P(x)cosβx+Q(x)sinβx〕e<sup>ax</sup>时,其中P(x)与Q(x)是多项式。 ⑩'''常系数线性微分方程组''' [[文件:常微分方程28.jpg]] 归结为求特征方程 [[文件:常微分方程29.jpg]] 的根λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub>及与之相应的特征向量的问题,在四阶以下一般是可能计算的。当有重根时,利用矩阵的级当标准形,仍可求得通解。 (11)'''首次积分法''':设给出方程组 [[文件:常微分方程30.jpg]]=fi(x,y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>,…,y<sub>n</sub>)(i=1,2,…,n) (4) 其中右端函数f<sub>1</sub>,f<sub>2</sub>,…,f<sub>1</sub>在某区域D[[文件:常微分方程31.jpg]]<sup>Rn+1</sup>内连续,关于y<sub>1</sub>,…,y<sub>n</sub>可微,设函数Φ(x,y<sub>1</sub>,…,y<sub>n</sub>)在G[[文件:常微分方程32.jpg]]D内可微,不是常数,但沿着(4)的任一解C:y<sub>1</sub>=y<sub>1</sub>(x),…,y<sub>n</sub>=y<sub>n</sub>(x)(x∈J),Φ≡c,C为常数,则称Φ<c为(4)的一个首次积分。首次积分在常微分方程中可算一个独立课题,也可通过它求解常微分方程组,例如前述的二体问题。 1841年[[J.刘维尔]]证明黎卡提方程[[文件:常微分方程33.jpg]]除υ=0,1,2,…时有初等解,其他情况一般没有初等解,从理论上结束了求通解的尝试。相继发明了数值计算法(发展为计算数学的一部分)、定性理论、稳定性理论,在近代发展成若干前沿分支:分支理论,动力系统等。这首先要解决存在性问题,有[[柯西定理]]、[[毕卡定理]]等。
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