数学

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　　数学（汉语拼音：Shuxue；英语：Mathematics），研究现实世界中数量关系和空间形式乃至更一般的抽象形式及关系的科学。是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间等概念的一门学科。借助语言阐述关系（数量、结构、前后变化……关系）的学科。Mathematics一词来自希腊文μαθηματιχη，其字根μαθημα，原意为知识、科学。从历史上看，数学这一知识领域常用其某个方面来称呼。如中国古代用“算学”一词来称呼数学，以强调其计算技术的侧面。西方长时期用“几何学”一词来表示数学，显示欧几里得的《几何原本》，以强调主要是几何学理论，但实际上它也包括数论及量（比例）的理论内容。随着时间的流逝，数学的内容不断地扩大和更新。一方面，原来被包括在数学领域内的许多学科和分支独立出去，如早期的天文学、大地测量学以及稍后的力学和几何光学；另一方面，在数学各学科的边缘又不断创造及繁衍出一系列新的学科。这些新学科共同形成现代庞大的数学学科领域。

　　数学概念与理论大多源于一些具体的数学问题。数学问题主要有两个来源：来自数学外部与来自数学本身。自古以来，数学问题主要来自日常生活、商务活动和生产实践的需要。特别是由此产生计数、测量、计算、绘图等实用数学技术，形成实用数学。在数学基础学科形成以后，数学问题仍源源不断。许多问题仍然来自实际，但主要是各学科经过提炼的问题，大量数学物理方程求解就属此类。随着数学日益成熟，数学本身的问题越来越多，其中的著名问题和猜想如黎曼假设、哥德巴赫猜想，以及希尔伯特问题等，成为数学不断发展的内在动力。

研究对象与目标

　　各门学科因其研究对象和研究方法不同而相互区别。数学最原始的研究对象是数与形，即使是如此简单、直观的对象也是抽象的。在初始阶段，像三角形和圆这种基本图形还是十分直观的对象，因此往往把研究形的理论——几何学看成自然科学。但人们由现实世界感知的圆和用圆规画的圆都不是数学研究的理想的圆。理想的圆的圆心和圆周上的点都没有长度宽度，而这在现实世界是无法实现的。直线就更加有问题，不仅不能把拉直的绳子和由小孔射出的光线当成直线，而且直尺是不是“直”也是大有问题的。由此可见，即使像圆和直线这种最基本的几何概念也是抽象的结果。更进一步，如果把几何学局限于人们看得见、摸得着的三维空间中的图形，也许几何学还勉强可看成自然科学。可是从19世纪中叶起，随着非欧几里得几何学的出现，特别是黎曼对于几何观念的巨大革新，现代几何学所研究的已是更加抽象的对象了。如非欧空间、高维空间、直线几何、流形、拓扑空间、纤维丛等，它们已变得只能通过抽象的数学方法来进行研究了。

　　如果说形的概念比较直观，有些定理还可以借助于经验方法来验证（如法国科学家B.帕斯卡就曾经把三角形的三个角拼接起来，看看是否是180°），那么数的概念就更为抽象。自然数是人们得到的第一个抽象概念。这个概念形成的过程是极为漫长的，至少有几千年的历史。但是，数学的抽象不止于此，它可由自然数再抽象出更一般的数的概念乃至更为抽象的其他数学概念。在西方，人们长期不接受负数和虚数（复数）的概念。数学中如群、环、域、格等概念乃至更为抽象的学科，如同调代数学、代数K理论等，则是更难于理解和接受的。

　　有了数和形乃至更抽象的数学对象之后，数学的首要目标就是研究这些对象的性质和对象之间的关系，最终形成系统的理论。在这方面，数学家的主要任务是证明定理，并在比较理想的情况下，形成公理化的理论。在这方面，欧几里得的《几何原本》树立了一个榜样。尽管欧几里得的体系后来几经批判和修正，但这种方法——公理演绎法，两千多年来一直是许多数学家遵循的工作方式。

　　数学的主要问题一开始就离不开四则运算，应用问题也主要仰赖于计算。计算的核心问题是建立算法，也就是按照一定的规则，通过一定步骤，由已知求得未知的方法。设计算法是一个极为困难的问题，数学的许多进展来源于此。经典代数学的主要问题是求解代数方程与代数方程组。虽然人们很早就会解一次、二次代数方程，但直到16世纪才会解三次、四次代数方程。可是五次代数方程的求解问题经过许多科学家三百多年的努力都没有解决。这就促使数学家开始研究有关的理论问题，如存在性问题。这一问题包括：

①有没有解； ②如果有解，有多少解； ③解的表示形式； ④有特殊形式解的条件。

　　对于代数方程，C.F.高斯证明：其根一定存在，且n次方程一定有n个根，条件是代数方程的系数和根都属于复数域。一次、二次、三次、四次方程的根都可以由系数经过加、减、乘、除和开方表示出来，这样的代数方程的根或解称为根式解。但不是所有五次方程都具有根式解，这是挪威数学家N.H.阿贝尔从理论上证明的。法国数学家E.伽罗瓦进一步发展了置换群理论，解决了通过方程的群判定哪些五次方程有根式解的问题，建立了伽罗瓦理论。后来一些数学家又证明，所有五次方程的解都可以用椭圆模函数的值来表示。这样，五次代数方程的求解问题获得圆满解决。更高次代数方程的求解问题更为复杂，往往只能给出近似解，特别是数值解。这也是设计算法问题。设计算法同样有理论问题，如精密度好不好，逼近其确值的速度快不快等。这些问题构成数值分析这一数学分支的内容。

　　一开始，经典代数与古典分析都是以设计算法为主的。即使原来以理论为主的学科，如数论和几何学，同样也存在大量操作性问题，特别是计算问题。在数论中，许多问题归结为不定方程（通常称丢番图方程）的求解问题。在几何学中，一开始就有许多几何作图问题，其中著名的三大作图问题，直到19世纪才从理论上解决。几何学另一大类问题是度量问题，如求长度、面积和体积等。它们都是计算性问题。由此可见，数学中的操作与计算问题和证明定理的理论问题经常是互相关联，很难截然分开的。在这种情形下，建立理论和证明定理逐步成为数学研究的主要目标。这样，产生出两类数学：做的数学(mathematics of doing)与在的数学(mathematics of being)。它们在发展过程中都引入了一系列属于不同层面的方法。这些方法与自然科学有着明显的差异。自然科学着重经验方法与实验方法，但这些方法不是发展数学的主导方法。

　　数学的思维方式与方法体系中，有些是与其他知识领域类似的，可称为哲学方法，包括抽象化、具体化、普遍化、特殊化、归纳法、演绎法、分析法、综合法等。这些理论思维方法在数学中无处不在。数学特有的方法主要是公理方法、构造方法、元数学方法（包括符号化技术、形式化技术、化归、数学命题关系、假设–演绎法、集合化）、具体数学分支方法的交叉运用（代数方法、几何方法、分析方法、概率方法、拓扑或同调方法等）等。

历史

　　数学作为人类最古老的知识，无疑来自社会生活及生产的需要。任何民族在或长或短的时期，总会发展出“数”的观念，学会用手指计数或实物记数，并逐步过渡到进位制，特别是十进制表示大数，以及学会简单的计算方法。这些应该是算术的起源。古代各民族对形有着更直观的认识，但它成为数学对象，更应由工具的制作与测量、绘图的要求促成。英文geometry（几何）源于大地测量，就反映出这点。中国在1900年曾把“几何”正确地译为“形学”，更是恰当地表达这分支的内容。中国古代夏禹治水时已有规、矩、准、绳等测量工具。《墨经》中对一系列几何概念有抽象的概括，给出了定义。《周髀算经》已经有用矩观天测地的一般方法与具体公式。巴比伦人在公元前3世纪把圆周分为360°，沿用至今。古代埃及、古代巴比伦、古代印度同古代中国一样都有一些计算面积和体积的近似公式，这些构成了几何学的初步知识。前5世纪之前，数学处于前史时期。

　　从公元前5世纪到公元16世纪，数学成为一门独立科学。到16世纪末，初等数学的五个分支——算术、代数、数论、几何、三角基本形成，为后来的发展奠定了基础。值得注意的是，这个时期各地数学发展不平衡，每个民族、每种文化各有自己的优势和特点。古代希腊的数学以欧几里得《几何原本》为代表，完全脱离实用的、经验的路线，专注于理论的探讨，建立了用定义、公设、公理、定理构成的演绎体系，成为近现代数学发展的楷模。

　　古希腊的数学侧重于研究数与形的性质以及各种性质之间的相互关系，甚至对一些抽象概念（不可通约性、无理数、无穷）进行探讨。这种学理式的研究有着明显的弱点，即代数学的薄弱。希腊人没有位值制、没有好的计算方法、甚至没有高次幂，也没有负数概念，这些都在相当长时期内妨碍数学进一步发展。在这方面，中国古代数学恰巧具有优势。至迟在秦汉之际，已经出现十进位值制，这与筹算相结合，大大改善了中国数学的计算能力。在《九章算术》中，已有负数概念和分数四则运算，开平方、开立方的算法，解联立线性方程组方法乃至二次方程的解法。到宋、元时期已经引入“天元”（未知数）的明确观念，出现了求高次方程数值解，甚至高次代数联立方程组的方法。特别是中国魏晋数学家刘徽早在3世纪就提出用十进小数表示“无理数”的奇零部分。这构成了一个完整的代数学算法体系，使得中国代数方法通行无阻，具有实用性的特点。中国以代数为主的数学具有明显的构造性、计算性、程序化和机械化的特色，但因此也有一些不足之处，如基本概念的缺乏导致一些领域的缺失，特别是没有角度的概念导致没有三角法。另外，算法的建立最终仍需要理论指导，缺少严密性和精确性的要求也使实用数学发展受到局限。

　　17世纪伴随科学革命而产生的近代数学正是几何与代数这两种思潮结合的结果。由中国、印度传到阿拉伯再传到西欧的算术及代数，大大改善了欧洲人的计算能力。其后符号代数的完善化，由代数与几何交叉形成的解析几何，对数的发明，特别是把有限的计算推广到无穷，最终导致微积分的产生，为整个数学开辟了无限广阔的前景。西方近代数学成为一个完美且开放的知识体系。到19世纪末，经典数学的四大分支——数论、代数学、几何学、分析学完全形成。正如在1900年的希尔伯特问题中显示的，经典数学有大量问题有待解决，这无疑推动了20世纪数学向纵深发展。结果不仅造就数学新的辉煌，大量经典问题获得完满解决，如费马大定理、华林问题、类域论与互反律、代数曲面及高维代数簇的黎曼-罗赫定理等，而且开辟了许多全新的数学领域。它们在理论和应用上都具有极为重要的意义。

20世纪的数学

　　20世纪的数学的主要特征是数学领域的扩大，各数学分支的交叉以及整个数学向纵深发展。

　　19世纪对数学基础的探索导致集合论、符号逻辑、公理理论以及实数与自然数理论的发展。19世纪末到20世纪初，集合论悖论的发现，再一次引导数学家正视基础问题，其中最突出的是集合论的公理化以及希尔伯特纲领的提出。D.希尔伯特希望把整个数学一劳永逸地建立在一个协调的公理系统之上的想法，由于1931年K.哥德尔的不完全性定理的证明而归于失败。这导致数理逻辑作为一个数学领域的产生。它应被更恰当地称为元数学，其中包括公理集合论、证明论、递归论、模型论四大分支，探讨数学的基本问题，如算法和可计算性的基本问题。这直接导致电子计算机的产生与发展。

　　在集合论的基础上产生了一个更重要的数学领域——数学结构理论的研究。虽然19世纪已对特殊的结构，如置换群、阿贝尔群（交换群）、四元数及其推广、布尔代数乃至李群、李代数等有一些研究，但这远没有达到抽象和系统的程度。19世纪末20世纪初，抽象的、建立在公理基础上的结构理论陆续形成。按照布尔巴基学派的观点，原始的结构有三大类，对它们的研究分别形成结构理论的各主要分支：

  1. 代数结构。主要是群、环、域、模等，以它们为对象的数学分支就是群论、环论、域论、模论等。在历史上它们被通称为近世代数学或抽象代数学，现在则是代数学的核心部分。
  2. 序结构。主要有偏序集、全序集和格。它们形成序集理论和格论等。格论及其分支布尔代数往往也列入代数学的范围。
  3. 拓扑结构。主要是拓扑空间、复合形、流形等，它们成为拓扑学的研究对象。

　　抽象结构有两个来源：一是从具体的研究对象加以抽象化和公理化产生出来。例如从代数方程的研究产生置换群的概念，置换群概念抽象化和公理化就产生抽象群的概念。二是从已有的抽象结构衍生出新的抽象结构，主要的途径有：增加或减少公理、结构的交叉和复合等。如果把各种结构适当地结合起来，会产生许多新的结构，也会产生既有理论意义也有实际应用的学科。抽象结构正是通过各种方式不断繁衍，成为远远超出数与形的数学的全新研究对象。

　　研究抽象结构的主要目标是搞清楚数学系统的结构并且在同构之下加以分类。任何研究数学结构的分支的主要问题大致可分为相互关联的四类问题：

  1. 表示问题；
  2. 结构问题；
  3. 分类问题；
  4. 实现问题。

　　以群论为例，有限群的结构由单群构成。有限单群的分类已经基本完成，这是20世纪数学的一项巨大成就。

　　除了抽象代数学之外，拓扑学也是19世纪末到20世纪初的新兴学科。拓扑学在20世纪数学中起核心作用。拓扑学的分支如同调论、上同调、同伦论、纤维丛、示性类等理论和方法已深入到许多数学领域，成为必不可少的工具。20世纪50年代以后，数学的重大成就都和拓扑学密不可分，主要成就有：微分流形的粗分类、微分映射的奇点理论、广义庞加莱猜想的获证和阿蒂亚-辛格指标公式、黎曼几何学和整体微分几何学的产生等。拓扑学不仅在数学中重要，而且与数学物理学，如规范场理论、超弦理论以及20世纪末的M理论的发展密不可分，这表明抽象的拓扑学的确反映出物理世界的深刻内涵。

　　抽象代数学和拓扑学给经典数学带来了巨大的冲击和活力，表现在许多经典数学分支由于数学结构理论的引入而抽象化和严格化，以及新方法的引入导致许多经典问题的解决。19世纪产生的代数数论、代数几何学、李群及李代数理论等大都扩展为抽象的分支，如类域论及其推广、算术代数几何等。1974年P.德利涅成功地证明韦伊猜想，1983年G.法尔廷斯证明莫德尔猜想，1994年A.维尔斯证明费马大定理，这些都是同抽象理论和方法密不可分的。抽象方法也渗透到古典分析中，形成了测度和积分理论、广义函数论、泛函分析、算子代数等重要理论，同时对偏微分方程理论产生不可忽视的影响。

　　20世纪中期起，由于数学得到广泛应用以及计算机的问世，产生了两大新兴领域：随机数学和离散数学。

　　随机数学的前身是概率论。概率论至少已有350年历史，它同微积分几乎同时产生。长期以来，它一直从属于代数或分析。随着20世纪对不确定现象研究的加强和概率论基础的奠定，概率论成为一个独立的领域。一般认为，1933年A.N.科尔莫戈罗夫将概率论建立在测度论基础上并将其公理化是概率论成熟的标志。另外，从20世纪初开始，随机过程成为概率论研究的中心课题。特别是1906年A.A.马尔可夫对马尔可夫链、1923年N.维纳对布朗运动、1937年P.莱维对可加过程的研究以及稍后鞅理论的建立，使得随机过程理论成为概率论研究的核心。20世纪40年代到50年代发现概率论与位势理论的关系，显示出概率论的独立特征。1942年伊藤清开创另一个方向——随机分析，使随机数学成为一个像微积分和微分方程那样的有效工具，对金融数学等产生了几乎不可思议的应用价值。

　　离散数学原是相对于连续数学而言的。从17世纪微积分产生起，数学的中心课题是处理连续对象。计算机的发明和数学的实际应用要求处理离散问题，甚至是有限的问题，因而以组合数学和图论为代表的离散数学应运而生。20世纪统计数学的发展导致组合设计的产生与发展。20世纪后期，组合数学与抽象代数学结合形成代数组合学，不仅在理论上大大提高，而且有不少实际应用。与组合问题稍有不同，图论问题与几何和拓扑关系更密切。它的许多问题从实际抽象而来，典型的是G.R.基尔霍夫的电路理论以及A.凯莱对化学中同分异构体的研究。著名的四色问题在1976年获得解决，且在1994年再次得到确认。组合数学和图论也有许多推广，特别是拟阵理论、超图理论和拉姆齐理论等。

　　20世纪数学在两大技术性领域的发展更是不同寻常。一是计算数学领域，二是统计数学领域。计算是数学的固有任务。从古至今已经有了许多算法，如近代数学中的牛顿解高次方程的迭代法，牛顿、欧拉、拉格朗日一般插值方法与差分方法，A.-M.勒让德和高斯的最小二乘法，线性代数的高斯消去法与各种迭代法等。这些方法到20世纪均有不同程度的发展。第二次世界大战以后，电子计算机的使用大大改变了计算数学的面貌。首先是传统方法的改进与新方法的创新。重要的算法有单纯形法、快速傅里叶变换、有限元方法、蒙特卡罗方法等。大规模的运算出现许多理论问题。对算法的误差、收敛性、稳定性等进行理论分析，产生数值分析这一分支；对计算量、存储量等的研究产生计算复杂性的理论。计算机科学、计算数学与各门学科相结合产生一系列交叉学科，如计算流体力学、计算物理学、计算化学等。这使理论、实验和计算成为发展科学互相补充、互相促进的三大手段和工具。

　　统计数学也是20世纪的产物。它是从总体中随机抽出的样本里所获得的信息来推断总体的性质。20世纪初期发展了大样本统计与小样本统计，其后发展了点估计理论与实验设计方法，建立假设检验理论，最后创立统计决策理论。第二次世界大战后的重要发展有贝叶斯统计及J.W.图基创立的数据分析，其本质是在大量数据中找到其中隐藏的模式。

　　此外，在现代数学的基础上，还出现了四个独立的领域。它们的许多分支被认为是数学，其研究对象与方法也类似数学，即不像自然科学那样以观测和实验为基础来建立和验证理论。它们是理论计算机科学、信息科学、运筹学及管理科学、系统与控制科学。它们的理论性很强，也很难说成是应用数学。这些领域的许多典型的分支有：冯·诺伊曼的对策论、N.维纳的控制论、卡尔曼滤波理论、复杂性理论等。其中大量问题已成为数学的研究对象，如信息论、编码理论、密码学、数学规划理论。

学科分划与交叉

　　数学是一个广阔而开放的领域，有上百个甚至更多的分支学科。它们之间有着不同程度的联系，粗略可划分为纯粹数学与应用数学，也往往分为经典数学与现代数学。通常把19世纪末之前的数学称为经典数学，一般分为数论、几何学、代数学与分析学四大领域，其内容在20世纪也有许多变化。另外，20世纪也形成许多新的分支学科，它们一起可归并为如下十大领域：

数学学科分化的演化

　　19世纪，数学成为一个自足的、独立的、蓬勃发展的领域，因此也同其他科学领域一样，逐步分化成更专门的分支。这样，学科的演化正式开始。

　　数学的第一次分化是分成纯粹数学与应用数学。19世纪初，数学的专业期刊首次出现，已经反映出这种分化。三种最重要的数学期刊都是以纯粹数学与应用数学命名的。依创刊顺序，它们依次是：法国数学家J.-D.热尔岗在1810年创办的《纯粹与应用数学年刊》，德国数学家A.L.克雷尔在1826年创办的《纯粹与应用数学杂志》，法国数学家刘维尔在1836年创办的法文的《纯粹与应用数学杂志》。其中第一个杂志于1831年停刊，而后两个杂志分别简称为《克雷尔杂志》和《刘维尔杂志》，至今仍是世界数学的两种最权威的期刊，而且主要刊登纯粹数学的论文。应用数学往往与具体科学不加区别。19世纪末开始出版的德国《数学科学百科全书》共分六大部分，前三大部分是代数学（包括数论）、分析学、几何学；后三部分是力学、物理学、天文学与测地学。后三部分中不仅有大量数学内容，而且也有许多实际内容，这显示应用数学还是一个边界模糊的领域。

　　与应用数学相反，纯粹数学逐步形成有自己研究对象的领域，并且逐步分化成日益专门的分支学科。尽管这些分支学科在发展过程中与具体科学不无关联，但抽象化的趋势可明确显示它们是数学（纯粹数学）而不是具体科学的分支。

　　19世纪纯粹数学开始分化，首先是分成几何学与分析学两大块，当时的数学家如果不是全才的数学家，则可称为几何学家或分析学家。从文献数量来看，几何学占一半以上，而分析学加上代数学和数论占不到一半，其中代数学和数论更少。这样，在学科划分上，几何学、分析学、代数学（包括数论）的三分法在数学分类上持续了很长时间。从1897年到20世纪中期以来，国际数学家大会的分组都是按照三分法原则来进行的，此外还加入应用数学（力学或物理）两组以及数学哲学、数学史、数学教育组构成六个组。

数学与其他学科的交叉

　　从17世纪到19世纪，数学与力学、天文学、物理学、大地测量学、航海术就密不可分，互相促进地平行发展着。对于机械工程、建筑工程设计、电机工程等技术领域的发展，数学也起着决定性的作用。20世纪数学科学的巨大发展，比以往任何时代都更加令人信服地确立了数学作为整个科学技术的基础地位。数学物理学、数学化学、数学生物学、数理经济学、数理地质学、数理语言学、数值天气预报、数学考古等一系列边缘学科的出现，表明数学的应用已突破传统的范围而向人类一切知识领域渗透。数学的应用具有以下特点：

  1. 纯粹数学几乎所有的分支都获得应用。在20世纪60年代，像拓扑学这样的抽象数学分支离实际应用似乎还很遥远，而今拓扑学（特别是纽结理论）已成为生物学中了解DNA结构的有效工具。在物理学中，拓扑不变量正在成为物理的量，正如一些群的不变量已经是物理的量一样。数论也曾被认为是最纯粹、最缺乏应用的数学分支，但如今数论方法在计算机科学、密码技术、卫星信号传输、p进量子场论等许多方面发挥着重要的有时甚至是关键的作用，并通过与数值分析相结合开辟着更广的应用途径。事实上，仅就在理论物理中的应用而言，涉及的数学除了经典的分支与方法（如数学物理方程、傅里叶分析、无穷维空间论、群论、概率统计等），还包括微分拓扑、微分几何、大范围分析、代数几何、李群与李代数、算子代数、代数数论、非交换数学、非线性数学、计算数学等，几乎覆盖了核心数学的整个领域。
  2. 几乎所有的科技领域都在应用数学，并越来越多地应用更高深的数学。数学在力学、物理学中的应用是经受了历史考验的，而当今数学的应用则早已突破这一传统的范围，正在向包括从粒子物理到生命科学，从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军。除了自然科学，在经济学和过去认为不适用数学的社会学、历史学等社会科学领域，数学方法也崭露头角。随机分析应用于金融决策而引起的经济学理论的进展，提供了令人鼓舞的例证。与以往时代不同的是，现在数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成交叉学科。与数学有关的词大量出现在各门学科之前后。如“数学的”、“数理的”、“计量的”、“统计的”、“计算的”以及“……数学”、“……统计学”等。学科成熟的社会标志是学会、协会的建立，期刊与连续出版物的问世，以及课程的设置，专业会议的召开等。例如《数学化学杂志》于20世纪80年代创刊，《数理经济学杂志》于20世纪70年代创刊，生物数学的期刊出现更早。次级学科如“数学分类学”的著作早在20世纪80年代就已问世。值得注意的是，纯粹数学中的一些前沿领域与其他科学的许多前沿领域，如当代理论物理学某些前沿领域，如超弦理论、超引力理论领域的快速结合，反映出科技领域中数学渗透的空前深度。事实上，仅像弦理论这样的物理学热门分支用到的数学，就涉及微分拓扑学、代数几何学、微分几何、群论与无穷维代数、复分析与黎曼曲面的模理论等。凝聚态物理中分类晶体结构中的“缺陷”以及液晶理论，都用到某些齐性空间中同伦群的计算。这即使对代数拓扑学家来说，也是极难的问题。数理经济学中一般均衡理论的建立、发展，也用到微分拓扑学的基本定理与彻底的公理化方法，如经济学家G.德布鲁因这方面的工作获得诺贝尔经济学奖。
  3. 数学在生产技术中的应用变得日趋直接。以往虽然也有数学直接用于生产技术的例子，但数学与生产技术的关系基本上是间接的：常常是先应用于其他科学，再由这些科学提供技术进步的基础。近半个世纪来，数学与生产技术的相互作用方式正在悄悄地改变，数学提供的工具直接影响和推动技术进步的频率正在加大，并在许多情况下产生巨大的经济效益。例如，以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，类似的数值模拟方法正被应用于许多技术部门以替代耗资巨大的试验；以调和分析为基础发展起来的小波分析直接应用于通信与石油勘探等广泛的技术领域；现代医学扫描技术（CT扫描、核磁共振成像等）主要也是建立在拉东积分理论的基础上。此外，现代大规模生产的管理决策、产品质量控制也密切依赖于数学中的线性规划算法（单纯形法与新兴的内点法）及统计方法。近年来，以数学建模为核心的工业数学成为一个蓬勃发展的应用数学领域也绝不是偶然的，产业部门的工程技术人员与数学工作者携手合作，解决影响甚至决定生产过程的形形色色的数学问题，反之，许多挑战性问题也刺激纯数学的发展。
  4. 数学在学科发展中所占的份额及力度越来越大。一些数学家认为，数学是一种关键的、普遍适用的、赋予人能力的技术。从某种意义上讲，“高技术本质上是一种数学技术”。对此，一般人还只在科学计算的层面来理解。实际上，数学方法是不同于实验方法、理论方法和计算方法的第四种普遍适用的方法和技术。这种情况从20世纪70年代以来已初露端倪，在21世纪数学方法将成为科学研究的重要组成部分，而且也许是最富创造性的部分。这特别表现在形成概念和理论框架方面。实际上，当前的动力系统的研究，分岔(bifurcation)、吸引子、孤立子、混沌等概念和理论已成为许多领域的通用语言和工具，而更艰深的数学将在未来更为普及。

数学奖项

　　菲尔兹奖　由国际数学联盟的国际数学家大会颁发的奖项。每四年颁奖一次，颁给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。它是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹的要求设立的。菲尔兹奖被视为数学界的诺贝尔奖。

　　沃尔夫奖　由沃尔夫基金会颁发，该基金会于1976年在以色列创立，1978年开始颁奖。创始人里卡多·沃尔夫是外交家、实业家和慈善家。而沃尔夫数学奖（Wolf Prize in Mathematics）是沃尔夫奖的一个奖项，它和菲尔兹奖被共同誉为数学家的最高荣誉。

　　阿贝尔奖　由挪威王室向杰出数学家颁发的一种奖项，每年颁发一次。2001年，为了纪念2002年挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近。设立此奖的一个原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。2001年挪威政府拨款2亿挪威克朗作为启动资金。扩大数学的影响，吸引年轻人从事数学研究是设立阿贝尔奖的主要目的。

参见

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