李代数
李代数（Lie algebra），一类重要的非结合代数。最初由挪威数学家M.S.李在19世纪创立李群时引进李代数的概念，经W.K.J.基灵、É.嘉当与H.外尔等人的努力，20世纪初，其基本理论得以完善。无论从理论的完整性，还是从应用的广泛性来说，李代数都已成为一个重要的数学分支，它的理论与方法已渗透到数学及理论物理的一些领域。
称集合g为域F上的一个李代数，是指：①g是F上的一个向量空间；②g上有一个二元运算（称为换位运算）；③对任意的a,b∈F与X,Y,Z∈g，换位运算满足三个条件：[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z]，[X,aY+bZ]=a[X,Y]+b[X,Z](双线性性)；[X,X]=0；[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0（雅可比恒等式）。李代数g作为F上向量空间的维数称为李代数g的维。按此维数，李代数分为有限维李代数与无限维李代数两大类。③中前二条件蕴含着[X,Y]=−[Y,X]对g中任意的X,Y成立，因此李代数一般地（除一维李代数外）都不是交换代数。但规定[X,Y]=0恒成立所得的李代数是交换的，称为交换（阿贝尔）李代数。
实三维空间R3={X=(x1,x2,x3)|xj∈R, j=1,2,3}以向量叉积作换位运算，即[X,Y]=X×Y=(x2y3－x3y2,x3y1－x1y3,x1y2－x2y1)，式中Y=(y1,y2,y3)，是R上的一个三维李代数。在域F上向量空间V的全体线性变换集L(V)中，定义[f,g]=fg－gf，则L(V)成一李代数，记为gl(V)。F上全体n×n矩阵所成的向量空间Fn×n在运算[A,B]=AB－BA下也是李代数，记为gl(n,F)，其四类子代数An,Bn,Cn,Dn称为典型李代数或线性李代数。
李代数在李群理论中有重要应用且二者有密切的联系，它们与其他学科的联系也很广泛。
