环论

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环论英语:ring theory),研究一类具有两个二元运算(加法与乘法)的代数结构的理论,是代数学中应用广泛的重要分支。这种代数结构称为环,它对加法是一个交换群,乘法对加法有分配律。最常用的环对乘法又满足结合律,称为结合环(如整数环Z、[0,1]上的实连续函数环以及实(复)n阶矩阵环Rn×n(Cn×n))。非结合环有两个重要类型:李环,即满足a2=0与雅可比恒等式(ab)c+(bc)a+(ca)b=0的环,与若尔当环,即乘法满足交换律与[(aa)b]a=(aa)(ba)的环。对乘法同时满足交换律与结合律的环又称交换环。研究交换环(通常还要求它们有乘法单位元1,使1a=a1=a)的理论称为交换环论(与交换代数密不可分),在代数几何、数论及其他数学分支中有重要应用。

设环R的一个非空子集S对R的加法成交换群且RS3S(SR3S),则称S为R的左(右)理想。S同时为R的左、右理想时,称S为R的理想。对(左、右)理想不存在无穷升(降)链S1US2U…USnU…(S1VS2V…VSnV…)的环又称(左、右)诺特环(阿廷环)。在环R的理想P满足“P≠R且对R的任意理想A,B,AB3P时必有A3P或B3P”时,称P为R的素理想;P满足“P≠R且不存在R的理想N使得PUNUR”时,称为R的极大理想。用拓扑工具研究交换环的素理想集(素谱)与极大理想集(极大谱)已成为交换环论中的重要方法。

环之间保持加法与乘法运算的映射称为环同态。若环同态还是一一对应,则称为同构。具有同构映射的两环称为同构的,即它们具有相同的环性质,可不加区别。利用同态也常能沟通两环的一些性质。对环R的任意理想N与a∈R,称a+N为以a为代表元的陪集。可定义加法(a+N)+(b+N)=(a+b)N,与乘法(a+N)(b+N)=ab+N,所得的环记为R/N,称为R关于N的商环(剩余类环)。使a7a+N得到的环同态π:R→R/N称为自然同态。当R不存在理想的无穷升(降)链时,R/N也同样如此。

幂零元(有正整数n使n次幂为0的元素)及幂等元(平方仍等于自己的元素)的研究在环论中有重要应用。幂零元的研究与环的根论有密切关系(最重要的根类为雅各布森根);幂等元的研究借助于孙子定理可将环R分解为直积(直和):R=R15R25…5Rn,研究这些Rj(j=1,…,n)常比研究R容易且这些Rj的公有性质常可传到R。比如,所有Rj都是阿廷环等价于R是阿廷环。

环论的起源可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究,交换环论则起源于数论中关于费马问题以及代数几何中关于曲线与曲面的研究。在环论的发展过程中,1907年J.H.M.韦德伯恩关于域上代数结构的研究,1927年E.阿廷将域上的代数结构推广到阿廷环,20世纪40年代,环的根论(尤其是雅各布森根与半单环以至本原环的理论)的迅速发展,1958年A.W.哥尔迪对于诺特环得到了系统结果等,起到了关键性的作用。20世纪50年代起,同调代数学在环论中日渐广泛的应用更使环论向更深层次活跃地发展。

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