群论
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。
历史
群论在历史上主要有三个来源：数论，代数方程理论和几何学。数论中出现的对群的研究始于莱昂哈德·欧拉，之后由卡尔·弗里德里希·高斯在对模算术和与二次域相关的乘法和加法的研究中进行了发展。群论的概念在代数数论中首先被隐含地使用，后来才显式地运用它们。
关于置换群的早期结果出现在约瑟夫·拉格朗日、保罗·鲁非尼（Paolo Ruffini）和尼尔斯·阿贝尔等人关于高次方程一般解的工作中。1830年，埃瓦里斯特·伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”，并在新生的群的理论与域论之间建立起了联系。这套理论现在被称为伽罗瓦理论。阿瑟·凯莱和奥古斯丁·路易·柯西进一步发展了这些研究，创立了置换群理论。
群论的第三个主要历史渊源来自几何。群论在射影几何中首次显示出它的重要性，并在之后的非欧几何中起到了作用。菲利克斯·克莱因用群论的观点，在不同的几何学（如欧几里德几何、双曲几何、射影几何）之间建立了联系，即爱尔兰根纲领。1884年，索菲斯·李开始研究分析学问题中出现的群（现在称为李群）。
属于不同领域的来源导致了群的不同记法。群的理论从约1880年起开始统一。在那之后，群论的影响一直在扩大，在20世纪早期促进了抽象代数、表示论和其他许多有影响力的子领域的建立。有限单群分类是20世纪中叶一项规模庞大的工作，对一切的有限单群进行了分类。
群的主要类型
群论考虑的群的类型从有限置换群和一些特殊的矩阵群逐渐进展到抽象群。这些抽象群可以由生成元和关系给定。
置换群
置换群是第一类被系统研究的群。对给定的集合X，X到自身的一些双射（通常叫做置换）的集合G如果在复合运算和求逆运算下封闭，那么称G是一个作用于X上的群。如果X包含n个元素而G包含所有可能的置换，那么G被称为对称群 Sn。一般地，任何置换群都是X的对称群的子群。凯莱定理表明，通过构造左正规表示，任何一个群都可以视作自身上的一个变换群。
矩阵群
例子：李群
变换群
如果集合A的所有一一变换作成群，则称为A的一一变换群或对称群。 设G是一个非空集合，G的元素间定义一种运算“∘”。如果G满足以下的条件：
1.（运算封闭性）对于G中的任意两个元素a、b，恒有a ∘ b ∈ G；
2.（结合律）对于G中的任意三个元素a、b、c，恒有( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c )；
3.（单位元）存在单位元e ∈ G，使得对于G中的任意元素a，都有e ∘ a = a；
4.（逆元）对于G中的任意元素a，存在a的逆元b ∈ G，使得b ∘ a = e。 则称G关于运算“∘”作为一个群。简称G是一个群。 设A是一个非空集合，A的若干个一一变换对于变换的乘法所作成的群称为A的一个变换群。
抽象群
一个集G，如果它不是空集，而且满足以下四个条件，就叫做群：
①G中有一个闭合的结合法。这就是说，G中任意两元a,b的结合c仍然是G中元。结合法通常写成乘法，这时c又叫做a,b的积。一般用记号ab=c或a·b=c表示。要注意，积ab虽然是由a,b唯一决定的，但一般它还与a,b的顺序有关。即ab不一定等于ba。
②G的结合法满足结合律。也就是说，对于G中任意三元a、b、c，有(ab)c=a(bc)。
③G中有一个（左）单位元e，对G中任意元a，有ea=a。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元，因而一般把e就叫做单位元。
④对于G中任意元a，在G中有一个满足a-1a=e的（左逆元）a-1，此处e就是上面的（左）单位元。实际上，可以证明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a-1就叫a的逆元。
拓扑群／代数群
设G是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间G×G到拓扑空间G上的映射m:(x,y)→x·y及从G到G上的映射f:x→x都是连续映射，则称G为拓扑群。如果G作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的,则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如，
n维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群GL(n,R)，再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群；而所有行列式为1的正交矩阵所成的群SO(n,R)是一个紧连通拓扑群。
从拓扑群G到拓扑群H内的映射f:G→H，如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么f称为从拓扑群G到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态f是双射, 而且逆映射f也是连续的，那么f称为拓扑群G到拓扑群H上的同构映射，简称“同构”。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。
在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。
群论的运用
群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。
在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。
在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。
后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理学的超弦理论。
