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'''解析数论'''([[英语]]:analytic number theory),[[数论]]中以分析方法作为研究工具的一个分支。分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪[[L.欧拉]]的时代。欧拉证明了,对实变数s>1有恒等式[[文件:解析数论.jpg]](式中p取遍所有素数)成立,并且由此推出素数有无穷多个。欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一。随后[[P.G.L.狄利克雷]]创立了研究数论问题的两个重要工具,即狄利克雷(剩余)特征标与狄利克雷L函数,奠定了解析数论的基础。 令π(x)表示不超过.x的素数的个数,关于π(x)的研究是素数论的中心问题,黎曼在数论中引入复变函数z(s),称为黎曼z函数(见数论),他对这个函数作了深入的研究,得到了许多重要结果。特别是,他建立了一个与z(s)的零点有关的表示π(x)的公式,因此研究素数分布问题的关键在于研究z(s)的性质特别是它的零点的性质。这样,黎曼开创了解析数论的一个新时期。黎曼提出一个猜想:z(s)的所有复零点都在直线Res=1/2上,这就是所谓黎曼猜想。它是尚未解决的最著名的数学问题之一。 1896年,[[J.阿达马]]与[[C.J.dela瓦莱-普桑]]用解析方法同时并且相互独立地证明了素数定理即当x→∞时,π(x)~.x/lnx,从此解析数论开始得到迅速发展。1949年,[[A.塞尔伯格]]与[[P.爱尔特希]]分别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明,当然它是很复杂的。 解析数论起源于[[素数分布]]、[[哥德巴赫猜想]]、[[华林问题]]以及格点问题的研究、解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、[[筛法]]、指数和方法、特征和方法、密率等。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:数理逻辑]] [[Category:中文词典]] [[Category:J音词语]] [[Category:解]]
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