计算几何学
计算几何学（英语：computational geometry），由函数逼近论、微分几何、代数几何、计算数学等学科交叉形成的新兴学科。研究几何外形信息的计算机表示、分析和综合。它是计算机辅助设计（即CAGD）的数学基础。计算机辅助设计的研究工作始于1955年，20世纪60年代进入实用阶段，到70年代已广泛应用于造船、航空、汽车及众多工业产品的外形设计和制造领域。进行此项工作的设计者首先要把一般的曲线或曲面表示在计算机上，然后对这些曲线或曲面的几何性质进行分析，比如看曲线上有无拐点、奇点、曲面的凹凸性等等，最后采用有效的数值计算方法，经过程序运算或人机对话等形式控制或修改这些曲线或曲面，使之符合产品设计的要求。
从20世纪60年代起，计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助制造(CAM)开始进入造船、航空和汽车工业的产品几何外形设计和制造领域中。设计者首先需在计算机上表达一般的曲线或曲面的形状，然后对这些曲线或曲面的几何性质进行分析，并通过人机交互对话方式控制修改这些曲线和曲面的形状，使其符合设计要求，最后由程控机床根据计算机所表示的产品形状进行加工。
1962年起，法国雷诺汽车公司的工程师P.E.贝济埃首先使用了现称之为贝济埃曲线的参数曲线表示法。一条n次贝济埃参数曲线为：
（0≤ t≤1）
式中 Bi,n( t)＝
t i (1－ t) n−i ( i＝0,1,…, n)是伯恩斯坦多项式。n+1个向量{ bi}是由设计者预先给定的，依次用直线连接这些向量的终点即得到所谓 贝济埃特征多边形，它是曲线形状的一个大致的逼近。当设计者需要改变曲线的形状时，只要调整特征多边形某些顶点的位置，对应的曲线形状便会随之变动，故贝济埃曲线十分适合人机交互控制曲线的形状。若表达形状复杂的曲线，需使用高次数的贝济埃曲线，但这会增加 计算的复杂性乃至产生数值不稳定性。
在1972～1974年，人们把函数形式的B样条(具有一定光滑度的分片多项式)推广为参数形式，其中三次B样条曲线最为常用。B样条曲线比贝济埃曲线有更好的性质：①它的特征多边形更好地逼近曲线。②局部移动控制顶点只影响邻近的几段曲线。③B样条多项式次数无须很高，故计算简单。④两相邻曲线段连接处的光滑度可按需要指定，故整条曲线上允许出现直线段和折角，所以适应范围更广。20世纪80年代，B样条多项式曲线被推广为非均匀有理B样条(简称NURB)，它除了具有B样条曲线的诸多优点外，还能表示圆锥曲线，因而应用范围更加广泛。
关于曲面的设计，20世纪60年代，S.A.孔斯提出了一种拼接四边曲面片的技术来构造飞行器外形的方法。使用者只需要给出曲面片的边界曲线、跨界切向量等信息，便可以构造出一张整体光滑的曲面。该方法理论严密，描述能力强，对自由曲面设计的发展具有深远的意义，但由于它所需要的信息太多而未获广泛应用。目前，构造四边曲面片最为常用的方法是将上面提到的贝济埃曲线、B样条曲线以及NURB曲线等通过做张量积的方法拓广成为具有四条边的曲面表示。这种表示因其几何上直观、形状容易控制而备受青睐。近年来，人们还将偏微分方程引入到计算几何问题的研究，其目的是用偏微分方程来描述和控制曲线、曲面的几何形变，通过求解微分方程获得理想的结果。
