计算数学

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计算数学英语:computational mathematics),研究数值计算方法的设计、分析和有关理论基础和软件实现问题的数学分支,是20世纪40年代末期以来随着计算机的诞生和发展而逐渐引人注目并得到迅速发展的一个数学研究领域。计算数学几乎与数学学科的所有分支有联系,它的发展对数学本身也产生愈来愈大的影响。任何具体学科的计算过程,不论其目的、背景和含义如何,最终归结为数学的计算过程,所以计算数学是各计算性学科的联系纽带和共同基础。因此计算数学是一门兼具基础性、应用性和边缘性的数学学科。

研究内容包括:①数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础,是计算数学的核心,常称作数值分析。②数值计算方法的软件实现。计算机科学中有关计算、软件的一些研究领域,如符号数学算法学计算复杂性等,广义上说也是计算数学研究的内容。

计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系,它利用其他数学分支的成果来发展新的、更有效的计算方法及其理论基础。反过来,计算数学的发展对数学科学本身也产生了愈来愈大的影响:在许多数学分支的研究中也都在探索运用计算的方法;开辟了一些计算性数学研究分支,如计算数论计算机代数等。

简史

计算是古代数学最重要的组成部分。中国在公元前14世纪的商代就已经使用完整的十进制记数,春秋战国时期又开始出现严格的十进位值制筹算记数法。在代数方程解法方面,中国古代有很高的成就。前1世纪,汉代九章算术》一书记载了开平方和开立方的算法及解一元二次方程的盈不足法,书中讲述的联立一次方程解法本质上就是近代的消元法。高次代数方程的近似解法在该书中也已具雏形,到宋代秦九韶(1247)和元代朱世杰(1303)发展完善,相当于西方近代的霍纳算法(1819)。在插值方面,中国古代也有杰出的贡献,元代朱世杰(1303)的一般高次内插公式相当于西方的牛顿–格雷果里插值公式(1670)。

印度在600年前后创造了从0到9的10个数字和十进制记数法,8世纪时传到阿拉伯,并几经演变形成了现在通用的阿拉伯数字。古代巴比伦、埃及、希腊、印度、阿拉伯等文明古国也都对代数方程解法有所贡献,如9世纪阿拉伯的花拉子米的二次方程一般解法等。

15世纪,欧洲资本主义工商业兴起,科学技术有了新发展。17世纪,以解析几何学微积分学为标志,近代数学开始形成和发展,数值计算方法也有了相应的进步。各个时期的大数学家在发展基础数学的同时,也都对计算方法作出了重要贡献:I.牛顿L.欧拉J.-L.拉格朗日发展了一般插值方法与差分方法;C.F.高斯P.L.切比雪夫分别对于均方模量和绝对值模量发展了最优逼近的方法与理论。在高次代数方程方面发展了牛顿迭代解法以及其他种种求根方法。在线性代数方面发展了高斯、若尔当消元法以及各种迭代法。微积分和微分方程发展的同时,也出现了数值计算的新领域——微分方程的数值解法。

为了满足科学技术发展和生产实践的需要,为了达到部分脑力劳动机械化和提高计算效率,科学家一直在探索研制更有效的计算工具。20世纪40年代末期研制成电子计算机,这是人类计算工具的一次革命性进展。计算机的诞生及随后的飞速发展和广泛应用,使计算在整个科学技术以至经济生活中的重要性得到空前的提高。同时,以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学分支学科——计算数学开始形成并迅速发展。在此过程中,经典的计算方法也经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程。与此同时,涌现出许多新思想、新概念、新研究方向和许多更能发挥计算机潜力、具有更强解题能力和更高计算效率的新方法,从而形成了现代意义下的计算数学。

研究内容

主要包括数值代数数值逼近微分方程数值解计算几何最优化计算、概率统计计算等。

数值代数包括高次代数方程、超越方程的求根;线性和非线性代数方程组、代数特征值问题的数值解法。

数值逼近研究函数的离散逼近,包括插值数值微分数值积分等。数值代数与数值逼近构成计算数学的基础部分。

微分方程数值解研究微分方程离散化的方法、离散化所得代数方程的解法,以及有关的理论基础问题。微分方程离散化方法主要有有限差分方法有限元方法两大类。

计算几何研究几何外形信息的计算机表示、分析和综合,它是计算机辅助几何设计(即CAGD)的数学基础。

最优化计算包括线性规划非线性规划动态规划等方面的计算方法研究。

概率统计计算包括多元统计分析计算、时间序列分析计算、数字滤波蒙特卡罗法等。

计算数学理论的基本概念包括误差、数值稳定性、收敛性、计算复杂性、计算量、存储量、自适应性等。这些概念描述了计算方法的可靠性、准确性、效率及计算机实现的方便程度。数值稳定性是指计算方法对舍入误差的敏感性,由于计算机字长有限,数据的计算机表示及运算过程都必然有位数的舍入,从而产生舍入误差,在计算过程中舍入误差不增长的计算方法是数值稳定的,否则是不稳定的。收敛性是指数值解对准确解或理论解的逼近,能得到任意逼近准确解或理论解并满足精度要求的数值解的计算方法是收敛的,否则是不收敛的。计算复杂性是指用计算方法在计算机上求解问题时所需耗费的时间、空间资源的估计,即计算量和存贮量的估计。自适应性是指计算方法能自动调整改变,以适应所解问题的变化,达到最佳计算效果的能力。数值计算方法的数值稳定性和收敛性的理论证明、数值求解过程的误差分析和计算结果的误差估计、计算复杂性的分析都是计算数学的基本研究课题。自适应计算方法的设计和分析是重要的研究方向。

由于科技和生产实践中的计算问题规模越来越大,而且很多问题的时间性又很强,如全球天气预报、医疗上的计算机X射线体层成像(CT)切片结果等,这使得各种快速算法的研究成为重要研究方向并有了快速发展。快速傅里叶变换(FFT)是计算离散傅里叶变换的一种快速算法,它把N点变换计算量从传统的O(N 2)降至 O(N log2N),利用小波基的离散小波变换(DWT)更降至O(N),对于实践上要求的大N,工效得到极大地提高。在线性规划的快速算法研究方面,计算时间依多项式速度增长的算法研究在20世纪80年代有很大进展。在椭圆型偏微分方程边值问题离散方程的快速算法研究方面,多重网格法的研究和应用在20世纪70年代以后有了飞速发展,它的计算量理论上是O(N),其中N是网格点数,目前它是解这类方程的最快速的方法。

数学物理方程,特别是非线性方程的差分格式与有限元格式的构造、解法、稳定性、收敛性、病态性、奇异性、无穷区域、数学物理反演问题计算方法等都是重要的研究方向。

并行计算是计算数学的一个重要的新兴研究方向。众多大型科学工程计算问题对计算能力与日俱增的要求,推动了高效能并行机的飞速发展。除拥有大型并行机的部门外,计算机网络技术的开发与应用使很多科研部门和院校也可获得供自己使用的网络并行计算环境,从而实现大型问题并行计算的目的。并行计算的关键问题之一是并行算法的研究。这主要是改造已有的有效算法使之适应并行计算环境,特别是面向并行计算环境设计新的高效率的并行算法。区域分解法是当前并行计算最活跃的研究领域之一。它的基本思想是把一个复杂系统(或区域)上的大规模计算问题,按照一定原则(如物理特性、几何形状、算法特点与处理器个数等)分解成若干子系统(或子区域)上的小规模计算问题来求解,从而达到高效率的并行计算的目的。

计算方法的研究成果只有在落实为软件时,才能在计算机上求解实际问题,科学工程应用软件是各种数值计算方法转化为社会生产力的关键环节。因此,科学工程应用软件的研制、开发方法和技术也是重要的研究领域。

作用与意义

自然科学工程技术中,基本规律的精确表达形式大都采用微分方程,但用解析方法能对其求解的方程仅限于少数“初等”情况。对大多数的变系数、非线性、不规则几何等复杂问题,解析方法几乎无能为力。这种情况在今后相当长时间内也不可能改变。若以计算机为计算工具,采用数值计算的方法,则从原则上说,解决非线性方程和其他复杂问题是没有不可逾越的障碍。

人类的计算能力既依赖于计算机的性能,也取决于计算方法的效能,因此计算数学的发展对于提高人类计算能力的贡献与计算机的进步是同样重要的。计算机与计算数学发展的实际情况也证明了这一论断。计算机平均每五年将计算速度提高一个数量级,计算方法效能的提高也大体相当。

计算机的飞速发展把计算的手段推向人类科学活动的前沿,使计算成为科学方法的一个主要环节。事实上,当前计算与传统的实验、理论构成了现代科学方法的三大环节。三者相辅相成、相互独立、可以相互补充替代而又彼此不可缺少。数值模拟计算对那些理论上难以处理的问题能给出丰富的、系统性的感性启示,也能为工程设计提供急需的、关键性的定量依据。另外,对那些不能用精确表达式描述的,数学模型尚未定型的问题,利用数值模拟计算可进行多方案的对比筛选,这对过程的理解和模型的正确建立极有帮助。有些领域,计算手段所取得的结果,其精确可靠性已经接近、达到甚至超过实验的结果。完全依赖计算机数值模拟而不经过风洞实验设计出来的“波音777型”飞机已能上天。计算的手段正被应用于许多部门以替代耗资巨大的试验,并取得了惊人的经济效益。在有些应用方面,计算的作用更是不可替代的,例如没有数值模拟计算就不可能做出准确的天气预报。

随着计算的手段在各种科学技术领域应用的推广与深化,科学与工程计算(简称科学计算),作为一门工具性、方法性、边缘交叉性的新学科,已经形成并迅速发展。它包含了在各种科学与工程领域中发展起来的计算性学科分支,如计算物理计算化学计算力学计算生物学计算经济学等。计算数学是它们的联系纽带和共性基础。因为任何计算问题的解决必须依赖于某个计算方法,它的解决的好坏、快慢取决于所采用的计算方法的优劣,所以可以说计算数学是科学计算的核心。

参见

  • 计算数学