证明论
证明论（英语：Proof theory），研究数学证明的数学理论。数理逻辑的分支学科，又称元数学。数学中的证明一向是逻辑学家研究的对象，但证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要证明公理系统的无矛盾性，希尔伯特提出一整套严格的方案，规定只能用有限长的证明，要无可辩驳地给出整个数学的无矛盾性。他打算先给出公理化的算术系统的无矛盾性，再证明数学分析，集合论的无矛盾性。但1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定理。这个结果使希尔伯特方案成为不可能。但1936年，G.根岑降低了希尔伯特的要求，允许使用无穷长的证明，证明了算术公理系统的无矛盾性。到1960年，数学分析的一些片断的无矛盾性也被证明。20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明。数学证明中的结构，证明的复杂性，数学中不可判定问题都成为证明论的研究课题，1977年，J.帕里斯发现算术理论中的一个自然的而又是不可判定的命题，这是一个重大发现。它使算术中自然的不可判定命题的研究越来越受人注意。
古代哲学家亚里士多德对证明就有过研究。20世纪初，D.希尔伯特正式创立证明论。以前，要证明非欧几何的无矛盾性，人们把非欧几何的无矛盾性化归到欧氏几何）的无矛盾性，再把欧氏几何的无矛盾性通过解析几何）化归到实数论的无矛盾性，又把实数论的无矛盾性化归到自然数论的无矛盾性，最后把自然数论的无矛盾性化归到集合论的无矛盾性。但罗素悖论使集合论出现了矛盾，数学陷入困境。为证明数学的无矛盾性，数学家们展开了激烈的辩论。
在这种情况下，希尔伯特推出他的一整套方案，希望能够从根本上证明数学的无矛盾性（见希尔伯特计划）。希尔伯特提出要把整个数学当作研究对象，需要一种简单明了可靠的元理论来做工具。他要求元语言必须具有有穷性，只承认无穷集合是不断生成的一个过程，不承认存在已经完成的无穷集合。希尔伯特要求用元语言将数学完全形式化、公理化，使数学的推演变成符号的变换。这样只要能够证明从数学公理出发不能推出0≠0来，就可以断定数学没有矛盾了。
希尔伯特计划提出不久，W.阿克曼用这个计划证明，只要对归纳规则加上一点点限制，得到的初等数论就是无矛盾的。这一成果给人们很大希望，沿着希尔伯特指引的方向，希望能够证明不加限制的初等数论无矛盾，再证明数学分析无矛盾，进而证明整个数学无矛盾。
K.哥德尔用这样的思路为初等数论（此处是指被称为皮亚诺算术的一种一阶逻辑系统）的符号编码，使其中每个符号、每个公式和每个公式序列都对应唯一一个编码。每个编码都可以在有限步内找到对应的公式。然而哥德尔却在这样的系统中找到一个命题A，并证明A既不能在系统中被证明，其否定命题(﹁A)也不能被证明。这就是著名的哥德尔第一不完全性定理。利用第一不完全性定理，哥德尔进一步证明，一个形式系统如果含有这种初等数论，并且是无矛盾的，则它的无矛盾性不可能在这一系统内部加以证明。这就是哥德尔第二不完全性定理。见不完全性定理。
哥德尔不完全性定理宣告希尔伯特计划的失败。但希尔伯特仍然是元数学理论的开创者。证明论还是在不断地发展。
