超越数论

超越数论（英语：transcendental number theory），研究超越数性质的数论分支。不是代数数的复数（即它不是任何非零整系数多项式的根）称为超越数。判断一个复数是否为超越数或s个超越数是否代数无关（即它们不是任何s元非零整系数多项式的一组根）是超越数论的基本课题。

1844年J.刘维尔研究了实代数数的有理逼近，据此构造了第一个超越数的例子：

C.埃尔米特(1873)和 F.von 林德曼(1882)分别证明了e和π的 超越性，其后林德曼和 K.外尔斯特拉斯进一步研究了指数函数在代数点上值的代数无关性，从而可知对于代数数 α， sin α、 cos α、 tan α( α≠0)、 ln α( α≠0,1)等都是超越数。

20世纪30年代A.O.盖尔丰德和T.施耐德独立地解决了希尔伯特第七问题，证明了若α≠0，1是代数数，β是无理代数数，则α^β为超越数，如：

60年代A.贝克发展了他们的方法研究了代数数的对数的线性无关性，证明了其他一些数的超越性，并在不定方程和代数数论中获重要应用。另外，C.L.西格尔和 A.A.希特洛夫斯基及 K.马勒还分别建立了某些满足线性微分方程组或函数方程的函数类的超越性理论。1996年 Yu.V.涅斯捷连科应用交换代数和代数几何学的新技巧证明了π和 e ^π的代数无关性。

参见

• 数学
• 数学基本条目