随机过程

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  随机过程(stochastic process),随时间推进的随机现象的数学抽象。例如,某地第n年的降水量Xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此Xn,n=1,2…便是一个随机过程。类似地,森林中动物的头数,液体中受分子碰撞而作布朗运动粒子的位置,百货公司每天的顾客人数等等,都随时间而变化形成随机过程。严格地说,现实中的大多数过程都具有程度不同的随机性。

  随机过程的数学定义如下:设(Ω,F,P)为概率空间,T为指标t的集合(通常视t为时间),如果对于每个t∈T,有定义在Ω上的随机变量X(t)与之对应,就称随机变量族X=X(t),t∈T为一随机过程(简称为过程)。过程X实际是两个变元(t,ω)(t∈T,ω∈Ω)的函数,当t固定时,它是一个随机变量;当ω固定时,它为t的函数,称此函数为随机过程(对应于ω)的轨道或样本函数。

  一些特殊的随机过程早已引起人们注意,例如1907年前后,A.A.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链;又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义(后人也称数学上的布朗运动为维纳过程),这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此,随机过程的一般理论的研究通常认为始于20世纪30年代。30年代初,A.N.柯尔莫哥洛夫发表的《概率论的解析方法》和A.I.辛钦发表的《平稳过程的相关理论》为马尔可夫过程和平稳过程奠定了理论基础。稍后,P.莱维出版了有关布朗运动和可加过程的两本书,其中蕴含了丰富的概率思想。1953年J.L.杜布的名著《随机过程论》问世,系统而又全面地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论,为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路;而流形上的随机微分方程的理论研究,正方兴未艾。60年代,法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果,在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论。中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。

  随机过程的研究方法是多样的,主要可分为两大类:①概率方法,其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等。②分析方法,工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是两种方法并用的。研究主要课题有:多指标过程、流形上的随机过程与随机微分方程、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等等。