不等式

　　不等式（拼音：bù děng shì），（inequality），用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如x²＋y²≥2xy，sinx≤1，e^x＞0 ，2x＜3等 。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如是代数不等式，lg(1＋x)＞x是超越不等式。

　　通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为＜，≥，＞ 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。例如，平均值不等式定理“x₁，x₂，……，x_n取任意正数时，不等关系都成立”，是一个命题；而“ 解不等式x²－x－6＜0 ”则是问x取哪些值使不等关系成立的问题。

　　不等式的最基本性质有：①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y，z＞0，那么xy＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz。

　　由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：

　　平均值不等式：对于任意n个正数x₁，x₂，…，x_n ，恒有　

　　柯西不等式：对于2_n个任意实数x₁，x₂，…，x_n和y₁，y₂，…，y_n，恒有（x₁y₁＋x₂y₂＋…＋x_ny_n）²≤（x₁²＋x₂²＋…＋x_n²）（y₁²＋y₂²＋…＋y_n²）。

　　排序不等式：对于两组有序的实数x₁≤x₂≤…≤x_n，y₁≤y₂≤…≤y_n，设y_i1，y_i2，…，y_in是后一组的任意一个排列，

记S＝x₁y_n＋x₂y_n-1＋…＋x_ny₁，M＝x₁y_i1＋x₂y_i2＋…＋x_ny_in，L＝x₁y₁＋x₂y₂＋…＋x_ny_n，那么恒有S≤M≤L。

　　根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：

　　①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。

　　②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。

　　③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。

　　④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解。