二次剩余

　　二次剩余（汉语拼音：Er ci sheng yu；英语：quadratic residue），数论基本概念之一。若a、m的最大公约数为1〔记为(a，m）＝1〕，m整除（x－a）〔记为x2≡ a（mod m）〕有解，则称a为模m的二次剩余（或平方剩余）； 否则，称a为模m二次非剩余（或平方非剩余）。解一般二次同余式ax2＋bx＋c≡0（mod m）的问题可归结为解x2≡n（mod m）问题（见同余）。欧拉给出了判别条件：若p是奇素数，（a，p）＝1，则a是模p的二次剩余的充分必要条件为a^[（p-1）/2]≡1（mod p ）；a是模p的二次非剩余的充分必要条件为a^[（p-1）/2]≡-1（modp)。称｛k｜0＜k≤m，（k，m）＝1｝为m的 简化剩余系。显然当m是奇素数p时，其简化剩余系令p－1个数 。若p是奇素数，(见图片），称为二次互反定律。它是初等数论中非常重要的结果，不仅可用来判断二次同余式是否有解，还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石，他一人先后给出多个证明。