代数数域
来自中文百科,文化平台
代数数域（英语：algebraic number field），有理数域的有限扩张。即包含有理数域Q的域，它作为Q上的线性空间是有限维的。设K是一个代数数域，它作为Q上的线性空间的维数[K :Q]为n，则称n为K的次数。n次代数数域中的任一元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式的根，因此都是代数数。
n次代数数域K的判别式dK的定义为如下的n阶行列式的平方：dK＝[detσj(αi)]2,其中αi（i＝1,…,n）为K的一组整基，σj（j＝1,…,n）为K到复数域的n个不同的单同态。dK是有理整数，它在一定意义下刻画了K的复杂程度。一个有理素数p在K的代数整数环OK中生成的理想的素理想分解式中出现重因子当且仅当p整除dK。
代数数域最重要的概念之一是理想类群，其定义如下：一个代数数域K的一个分式理想是指由K的元素组成的有限生成OK模（OK是K的代数整数环）。K的所有非零分式理想构成一个乘法交换群，称为K的分式理想群。由一个元素生成的分式理想称为主理想。K的所有非零主理想构成分式理想群的子群。K的分式理想群关于非零主理想子群的商群称为K的理想类群。它是一个有限交换群，其阶数称为K的理想类数（简称类数）。
