代数曲线
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代数曲线（英语：algebraic curve），复系数二元多项式f(z,w)的零点集称为仿射代数曲线。类似地，在以(x,y,z)为坐标的复射影平面上，齐次多项式 f(x,y,z)=0 的零点集称为射影代数曲线。一般地，设k是一个代数闭域，对kn中一个仿射代数簇，如果它的每一个不可约分支均是一维的，则称该代数簇为仿射代数曲线。类似地，可定义射影代数曲线。仿射代数曲线可完备化为射影代数曲线。任意不可约的射影代数曲线都双有理等价于光滑（即无奇点）的代数曲线，而光滑的射影代数曲线的双有理等价与同构是一回事。代数曲线的基本问题是不可约射影代数曲线的双有理等价分类，亦即光滑曲线的同构分类。
当k是复数域时，光滑射影代数曲线与紧致无边的一维复流形（又称黎曼曲面）间存在一一对应，前者的双有理等价与后者的全纯（或解析）等价一致。
紧致黎曼曲面的一个基本的数值不变量是亏格g，它不仅是一个双有理不变量，还是一个拓扑不变量，与欧拉示性数p之间有如下的关系：
- 2 g=2− p
亏格 g为零的代数曲线在拓扑上与球面同胚，其双有理等价类只有一类，亏格 g为1的代数曲线被称为 椭圆曲线，它拓扑上与环面同胚，其双有理等价类形成一个复数维数为一维的空间。而亏格 g≥2的代数曲线，其双有理等价类则形成复数维数为3 g－3的空间。
