卡姆〔KAM〕理论

卡姆〔KAM〕理论（ KAM theory ），关于可积哈密顿系统受摄动后其解的长期性态的一个定理。1954年由苏联学者A.N.科尔莫戈罗夫提出，1963年为他的学生V.I.阿诺尔德所证明，并在略为不同的提法下1962年为美国学者J.K.莫塞所证明。KAM即以上三人姓氏的缩写。

由正则方程描述的n个自由度哈密顿系统，如果能找到n个彼此独立的运动积分，则成为可积系统，并可通过正则变换用作用–角变量(I,θ)描述，且哈密顿函数只与作用变量有关，H0＝H0(I)，可积系统的解在2n维相空间中分布在一个n维环面上。如果系统受到微小摄动，H(I,θ)＝H0(I)＋εH1(I,θ)，则称为近可积系统，其中ε是一小参数。KAM定理的数学表述比较复杂，大意是：在满足一定条件下（如摄动微小、可积系统的H0远离共振、H1光滑等）近可积系统绝大多数解是规则的，其相轨迹被限制在一个n维环面上，该环面与可积系统的环面相比有微小的变形，但拓扑结构不变，称为KAM环面；也有一些“随机”解（随机二字打上引号表示并非真正的随机，而是因为系统的性态随初值的敏感而呈现混乱，这仍然是混沌现象的决定性的表现），但被限制在KAM环面之间，成为“随机”层。因此，近可积系统与可积系统的解相差不多，这时确定性与“随机性”共存。随着摄动的加大，上述条件受到破坏，KAM定理不再适用。分隔相邻“随机”层的KAM环面将逐个破裂，“随机”层也相应变大，这时系统的所有可能解中大部分都是混沌解。