向量空间

　　向量空间（汉语拼音：Xiangliang Kongjian；英语：Vectorspace），线性代数概念，解析几何中平面V2，空间V3的推广。在取定坐标系后，平面上的点可由实数对（a，b）表示，空间的点可由三元实数组(a，b，c)表示。推广之，考虑数域F的n元数组集 Fn＝｛（a1，…，an）｜ai∈F，i＝1，2，…，n｝，Fn对矩阵的加法及数乘做成的代数系称为F上的一个n维向量空间或n维线性空间，Fn中的元素称为向量。类似于在V3的任一坐标系下，每个向量有唯一的坐标，F n中每个向量a ＝（a1，…，an）可由e 1＝（1，0，…，0），e 2＝（0，1，…，0），…，e n＝（0，0，…，1）唯一地表示：a ＝a 1e 1＋…＋ane n。e 1，…，e n称为F n的一个基，n称为F n的维数，（a1，…，an）称为a 关于基e 1，…，e n的坐标。向量空间的定义还可以一般化，若V是一个非空集合，V有加法，数域F 对V有数乘法，且这两种运算满足一定条件，则称V是F 上的向量空间，V的元素称为向量。若a 1，…，a n，β ∈V，l1，…，ln∈F ，β ＝l 1α 1＋…＋l na n，则称β 可由a 1，…，a n线性表示，若存在不全为0的l 1，…，l n，使l 1a 1＋…＋l na n，为零向量，则称a 1，…，a n线性相关，否则，称a 1，…，a n线性无关。若V中每个向量可由a 1，…，a n唯一地表示，则称a 1，…，a n为V的一个基，n称V的维数。F 上每个n维向量空间与F n有相同的代数性质，即它们同构。向量空间讨论向量间线性关系，子空间及空间分解等。数学中凡讨论线性问题时，可利用向量空间的观点。