周期解理论

周期解理论（ theory of periodic solution ），关于天体运动周期轨道的存在性和稳定性的理论。对于天体力学中不能直接求解的运动方程，除了用级数作为近似解外，庞加莱在十九世纪末开辟了一条新的途径──寻找运动方程的周期解。这种解的特点是：经过一定的时间（周期）后，天体的坐标和速度都严格地回复到原来的数值。周期解理论是天体力学中最活跃的研究领域之一。对于维数不高的动力学体系（如平面圆型限制性三体问题）来说，周期解是决定相空间（坐标和速度分量组成的空间）的“枢纽”轨道；周期解的存在同共振有密切联系（见共振理论）；某些简单的周期解可以作为中间轨道，并以此为基础讨论摄动；人造天体出现以后，需要设计能够周期性地接近地球和其他天体的轨道，这就给周期解的研究工作带来新动力。目前研究周期解有三种基本方法。

定性方法

应用拓扑学方法证明某些类型周期解的存在性。这种方法最初是庞加莱提出的，后由伯克霍夫、阿尔诺德等人加以发展和充实，成为天体力学定性理论中的一个重要内容。对于大周期的解的存在性问题，目前还只能用定性方法进行研究。此外，在给定周期解领域内的周期解存在性问题，各种周期解的稳定性问题，都是用定性方法来研究的。

分析方法

最初也是庞加莱提出的。他首先研究含有小参数μ的运动方程。当μ=0时，方程有周期解。然后根据周期性条件找出μ≠0时的周期解。这样的周期解可用μ的幂级数表示，并用逐次积分求出其系数。对于三体问题，他提出了三类周期解，这成为周期解的理论基础。这些解称为庞加莱周期解。拉格朗日特解也是一种特殊的周期解。近二十年来，对拉格朗日特解附近的周期解存在性和稳定性研究得较多（见脱罗央群小行星的运动）。希尔在研究月球运动时所采用的中间轨道，也是周期轨道，称为希尔周期轨道。二十世纪以来，在研究希尔周期轨道的收敛范围以及用新方法建立这种轨道方面，取得了很多成果。例如美国康利等人用正规化变换（见变换理论）求平动点附近的周期解。

用分析方法讨论周期解有两个重要缺点：一是在周期上有限制，对周期很大的解还只能用定性方法研究；一是推导过程太繁，无法推导出一般项和高阶项。近年来，分析方法常用数值方法来补充，并且借助于电子计算机进行公式推导。

数值方法

自五十年代电子计算机广泛应用于天体力学研究之后，出现了用数值方法研究周期解的高潮，建立了大量各种类型的周期轨道。其中绝大部分是针对平面(圆型或椭圆型)限制性三体问题的，只有很少是针对空间限制性问题或一般三体问题的。一般方法是寻找某一周期解族的具体周期轨道。具体办法是先选取周期解的近似初值，然后用泰勒级数的斯特芬森方法计算出最后的周期轨道。这样所得的精度比差分法要高。算得最多的仍然是平动点附近的周期解。六十年代以后，出现了很多用数值方法研究周期轨道稳定性的研究成果，主要是算出标志周期轨道的某些参数的具体值，从而判定周期解的稳定性和稳定范围。

同分析方法一样，数值方法的缺点也是在周期上有限制，一般只能研究周期较短的解。另外，利用数值方法进行研究只能得到某些具体周期轨道，很难看出它们的一般特征（见天体力学数值方法）。因此，周期解理论还需要用几种方法配合来研究，才有可能得到有效的结果。但是至今还没有形成较完整的具体研究方法。