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'''哈密顿-雅可比方程'''(Hamilton-Jacobi equation),[[分析力学]]中用以求解[[正则方程]]的一个[[偏微分方程]]。由CGJ雅可比在[[W.R.哈密顿]]研究工作基础上给出而得名。对于N个自由度的完整系统,此方程可写为: [[文件:哈密顿-雅可比方程1.jpg]]+''H''(''q''<sub>1</sub>,''q''<sub>2</sub>,…,''q''<sub>N</sub>;[[文件:哈密顿-雅可比方程2.jpg]],[[文件:哈密顿-雅可比方程3.jpg]],…,[[文件:哈密顿-雅可比方程4.jpg]];''t'')=0, 式中''H''=''T''<sub>2</sub>-''T''<sub>0</sub>+''V''为哈密顿函数,其中''V''是用广义坐标''q''<sub>i</sub>(i=1,2,…,N)和时间''t''表示的势函数,''T''<sub>2</sub>和''T''<sub>0</sub>分别为动能''T''中用广义动量表示的二次齐次式和零次齐次式(即不含''p''<sub>i</sub>,仅含''q''<sub>i</sub>和''t''之式);''S''为哈密顿主函数。 若自方程求出包含''N''个任意常数(''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,…,''a''<sub>N</sub>)的一个解(称全积分)''S''(''q''<sub>1</sub>,''q''<sub>2</sub>,…,''q''<sub>N</sub>;''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,…,''a''<sub>N</sub>;''t''),则由[[文件:哈密顿-雅可比方程5.jpg]]=-''β''i(''β''是常量),[[文件:哈密顿-雅可比方程6.jpg]]=''p''i(i=1,2,…,N)就能求出该系统正则方程的通解:''p''i=''p''i(''t'';''a''<sub>1</sub>,…,''a''<sub>N</sub>;''β''<sub>1</sub>,…,''β''<sub>N</sub>),''q''i=''q''i(''t'';''a''<sub>1</sub>,…,''a''<sub>N</sub>;''β''<sub>1</sub>,…,''β''<sub>N</sub>)(i=1,2,…,N)。 对许多力学实际问题,可以通过分离变量法求出哈密顿-雅可比方程的全积分。对于工程上的保守系统,用此法计算繁琐,但它对天体力学的摄动法却大有帮助。
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