实变函数论

　　实变函数论（real function theory），19世纪末20世纪初形成的数学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。

　　实变函数论的中心内容是建立勒贝格［简记为（L）］积分理论 。围绕中心内容介绍了（L）测度、（L）可测集和（L）可测函数等内容，还简要介绍了勒贝格-斯蒂尔杰斯［简记为（L-S）］测度和（L-S）积分。（L）积分是现代数学中一个常用的重要积分工具，例如，应用广泛的傅里叶分析就是建立在（L）积分基础上的。（L）积分克服了黎曼［简记为（R）］积分的许多局限性，尤其是（ L）积分理论在交换积分与极限次序等运算中的灵活性，以及（L）可积函数类所组成的函数空间的性质方面，有着（R）积分理论不可及的优越性。

　　实变函数论运用（L）测度这一工具，通过引入列导数（或导出数）的概念，在研究函数的可微性方面获得了一系列深刻的结果，单调可微定理就是其中之一，意义在［a，b］上的单调函数在［a，b］E上处处可导，且导函数在［a，b］上是（L）可积的（这里E表示［a，b］中（L）测度为零的子集），此外，也可利用（L）积分的理论和点集分析的方法讨论多元实变函数的微分问题。

　　在收敛性方面 ，实变函数论利用（L）测度和（L）积分工具，引入了几乎处处收敛、依测度收敛（或度量收敛）和积分平均收敛等概念。依测度收敛就是概率论中的依概率收敛，在概率论中具有重要的地位，而积分平均收敛在分析数学中是刻划收敛性态时常用的工具之一，傅里叶级数理论以及一般正交级数理论中就是以均方收敛为基本收敛概念的。

　　实变函数论不仅在现代数学，尤其是分析数学中有着广泛的应用，而且它的理论和方法对于形成近代数学的其他分支，例如拓扑学、泛函分析有直接的影响。