希尔伯特数学问题

　　希尔伯特数学问题（汉语拼音：Xiboerte Shuxue Wenti；英语：Hilbert's mathematical problem），D.希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会讲演中，提出的23个数学问题的统称。已有过半数问题得到了完满的解决，1／3的问题有了突破性的进展。这些问题及其研究概况如下。

　　①连续统假设问题。1963年，P.J.科恩证明此问题不可解，即连续统假设的真伪不可能在策梅洛-弗伦克尔公理系统内判明。②算术公理的相容性。1931年K.哥德尔“不完备定理”指出用元数学证明算术公理相容性是不可能的。故相容性问题尚未解决。③两等底等高四面体体积相等 。1900年由M.W.德恩给出肯定解答。④直线作为两点间最短距离问题，尚未解决。⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念。1952年由A.M.格利森、D.蒙哥马利、L.齐平给出肯定解答。⑥物理公理的数学处理。量子力学、热力学等获得很大成功，概率论公理化由A.N.柯尔莫哥洛夫等人完成。⑦某些数的无理性和超越性，1934年A.O.盖尔丰德和T.施奈德解决了后半，1966年A.贝克推进。⑧素数问题。一般问题未解决，对哥德巴赫猜想中国数学家作出很大贡献，但仍未彻底解决。⑨任意数域中最一般的互反律之证明，1921年由高木贞治和E.阿廷解决。⑩丢番图方程可解性的判别 。1970年U.V.马季亚谢维奇证明一般算法不存在。系数为任意代数数的二次型。H.哈塞和C.L.西格尔取得重要成果。阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域。未解决。不可能用两个变数的函数解一般七次方程 。1957年В.И.阿诺尔德否定了连续函数情形。证明某类完全函数系的有限性，1958年永田雅宜给出否定的解答。舒伯特计数演算的严格基础。演算的合理性尚未解决，代数几何基础由B.L.范德瓦尔登和A.韦依建立。代数曲线和曲面的拓扑。前半部分，不断有重要结果；后半部分，当n＝2时，1979年中国数学家举出有4000极限环的例子。正定形式的平方表示式。1926年由E.阿廷解决。由全等多面体构造空间。第一部分（欧几里得空间中仅有有限个不同类的带基本区域的运动群）1910年由L.比伯巴赫解决，第二部分（是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连可充满全空间的多面体）已由K.赖因哈特和H.希施分别给出二维和二维的例子，无限多个立体排列问题尚未解决。正则变分问题的解是否一定解析。在一定意义上由C.H.伯恩斯坦等人解决。一般边值问题。正在发展。具有给定单值群的线性微分方程的存在性。已由希尔伯特本人和H.罗尔解决。解析关系的单值化。一个变数的情形由P.克贝解决。变分法的进一步发展。

　　这些问题吸引了许多数学家，并且有的还引导出新的方向，如第9个问题导致类域论的诞生。当然，20世纪的数学发展，从新领域、新问题、新方法、新概念等诸多方面已远远超出了希尔伯特的预见。