希尔伯特问题

　　希尔伯特问题（汉语拼音：Xi'erbote Wenti；英语：Hilbert's Problems），1900年8月，德国数学家D.希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作的“数学问题”的报告中所提出的23个问题。希尔伯特在报告中强调问题对于数学发展的重要性，并且根据他十多年对于数学诸多领域的探讨中所考虑的大量问题选出他认为对未来发展有重大意义的一些问题。大多数问题在20世纪的数学发展中起着重要的推动作用。许多问题得到圆满解决或取得不同程度的进步，但也有少数问题有待进一步研究。

　　希尔伯特23个问题及其解决现状:

1. G.康托尔的连续统基数问题。此即连续统假设：。1938年K.哥德尔证明：如果策梅洛–弗伦克尔公理系统（ZF）是协调的，则连续统假设相对于ZF是协调的；1963年P.J.科恩证明，连续统假设相对于ZF是独立的；从而在ZF系统中，不能判定连续统假设是否成立。
2. 算术公理的无矛盾性。1931年，哥德尔证明了不完全性定理，从而推出用希尔伯特的有穷性方法不能证明自然数论的算术公理的无矛盾性。但指出要证明需在更强的理论中进行。1936年G.根岑用超穷归纳法证明算术公理的无矛盾性。
3. 存在两个等底等高的四面体不能剖分为对应相等的诸多小四面体。实际上1896年R.布利卡已经部分解决，其后M.W.德恩在1900年利用不变量完全解决。
4. 直线作为两点间最短距离的问题。希尔伯特主要考虑以此为公理的几何学。1973年苏联数学家波格列洛夫声称解决了对称距离的情形。但希尔伯特可能对非对称距离更感兴趣，这种情形几乎不可穷尽。
5. 从M.S.李的连续变换群概念中去掉定义群的函数的可微性假设。1952年由美国数学家A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平完全肯定地证明。
6. 物理学的公理化。希尔伯特和他的学生们对此问题进行了广泛的研究，但他们的想法与后来的新兴物理学及其公理化并不一致。在希尔伯特的框架内，G.哈梅尔在1903年对经典力学加以公理化，1909年，C.卡拉西奥多里对经典热力学公理化。1933年，苏联数学家A.N.科尔莫戈罗夫对概率论进行公理化。
7. 某些数的无理性与超越性。问题前一部分涉及超越函数的特殊值的超越性。1929年德国数学家C.L.西格尔首先得出一般定理，特别如贝塞尔函数J0(z),当z取代数值时是超越数。问题后一部分在1934年由苏联数学家A.O.盖尔丰德和德国数学家T.施奈德独立证明，即对于任意代数数α≠0,1,和任意无理代数数β，αβ是超越数。
8. 素数问题。这问题可分为3个子问题：黎曼假设（见黎曼猜想），未解决；哥德巴赫猜想、孪生素数猜想（见孪生素数）等，未解决；一般域的素数问题及有关猜想，一个重要成果是韦伊猜想，即有限域上代数簇的ζ函数的黎曼假设，在1973年由P.德利涅证明。
9. 任意域中最一般互反律的证明，1927年由E.阿廷完全证明。
10. 丢番图方程可解性的判定，1970年由苏联数学家Yu.V.马蒂雅谢维奇否定解决。
11. 系数为任意代数数的二次型。1923年，德国数学家H.哈塞建立了一般二次型理论。对于系数为代数整数的二次型，1936年，西格尔建立了一般理论。
12. 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数数域上。这个问题第一个进展是日本数学家高木贞治在1920年证明虚二次域的情形。其他情形尚未完全解决。
13. 不可能用只有两个变数的函数解一般的7次方程。这个问题分两部分：前一部分是问三元函数能否表为二元代数函数的叠加，这问题尚未解决；后一部分是问三元函数能否表为二元连续函数的叠加，这个问题与希尔伯特等人的期望相反，答案是肯定的，它是由苏联数学家A.N.科尔莫戈罗夫和他的学生V.I.阿诺尔德在1957年证明的。
14. 某些完备函数系的有限性的证明。这是不变式论的一个重要发展。当变元数为1或2个时，1954年O.扎里斯基得到肯定的证明，1958年永田雅宜对4个变元情形举出反例，其后瑞司对3个变元情形也举出反例。
15. 舒伯特计数演算的严格基础。代数几何学的严格基础先后由B.L.范·德·瓦尔登（1939）、A.韦伊（1946）、A.格罗森迪克（1958）等建立。但舒伯特演算及其取得的几何数大多尚有待证实。
16. 代数曲线与曲面的拓扑。这问题分两部分：第一部分，代数曲线和曲面的封闭分支的数目及其相互位置。希尔伯特关于6次平面曲线的推测已有反例。整个问题尚未解决。第二部分，极限环的数目。尚未解决。
17. 正定形式的平方表示，1927年由阿廷完全解决。
18. 由全等多面体构造空间。这问题分3个独立问题：第一个问题，n维欧几里得空间的晶体群只有有限多。1910年由德国数学家L.比伯巴赫证明。第二个问题，是否存在非基本域可填满整个空间。1928年K.莱因哈特造出一个复杂的多面体例子。1935年H.希施造出十分简单的二维例子。第三个问题，n维欧氏空间中球的最密堆积。已知n=2,8,24维情形，n=3为开普勒猜想。
19. 正则变分问题的解是否解析的问题。1904年俄国数学家S.N.伯恩斯坦在两变元情形对3次连续可微的解予以肯定的证明。其后结果降到2次连续可微以及多变元情形。对于椭圆方程组情形也成立。
20. 一般边值问题。1910年伯恩斯坦首先对特殊情形给出肯定的解答。其后推广到多种情形。但也存在一些情形解不存在。对于所有一般边值问题是否能够定义广义解，并且广义解存在则尚未解决。
21. 具有给定单值群的线性微分方程存在性的证明。对一些情形有肯定的证明。但一般情形由苏联数学家鲍里布鲁赫于1990年否定解决。
22. 通过自守函数使解析关系单值化。1907年H.庞加莱和P.克贝独立证明两变量之间的解析关系可单值化。多变量情形尚未解决。
23. 变分法的进一步发展。从1900年希尔伯特证明狄利克雷原理之后，变分法取得重大进展，甚至超出希尔伯特对19、20和23问题所设的研究纲领。