常微分方程

　　常微分方程（ordinary equation），由一元函数得到的方程。即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式

　　

　　为常微分方程。其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶。例如，，是一阶常微分方程，是二阶常微分方程。

　　设y＝（x）定义于区间J上，有直到n阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于x的恒等式，即

　　F（x，（x），，…，）≡0，x∈J

　　就称y＝（x）为（1）的一个定义于J上的解，并称J为该解的定义区间。

　　最简单的微分方程，求解过程便是积分。

　　几种常见的初等解法（即把所给的微分方程化为积分形式）是：

　　①分离变量法。对微分方程除以g(y），乘以dx化为dy／g(y）=f(x）dx此时，x和y各据一方，分离开来了，然后分别于两端对x和y积分得到“通积分”：∫f（x）dx＋c，（解y＝（x）未写出，而是以隐式呈现的，就叫积分，一阶方程含有两个任意常数的解叫做通解）。

　　②变量替换法。例如，齐次方程为 令y＝xu，则，代入原式得，＝f（u）－u。这时已经是分离变量型的方程了，变量替换可把“不会解”的方程变为已知求解法的方程。

　　③常数变易法。例如一阶线性方程

　　

　　当时，叫非齐次线性方程，时叫齐次线性方程。

　　齐次方程是可分离变量的：，通解是y＝Ce^-∫p(x)dx，令y＝c（x）e^-∫p(x)dx 为（1）的解，

　　即c（x）这时已不再是常数，y′＝c′（x）·e^-∫p(x)dx－c(x)P（x）e^-∫p(x)dx，代入（1）式消去两个相同的项得到c¢（x）＝Q（x）。e^∫p(x)d。

　　于是c（x）＝∫Q（x）e^∫p(x)dxdx＋。这时是任意常数，最后得(2)的通解

　　④全微分方程法。设给出微分方程为

　　P(x，y)dx＋Q(x，y)dy＝0　（3）

　　若存在一个二元函数u（x，y）＝c,使　，则u（x，y）＝c便是（3）的通积分。

　　⑤积分因子法。当（3）不是全微分方程，但存在一个函数μ（x，y），使μ（x，y）P（x，y）dx＋μ（x，y）Q（x，y）dy＝0是全微分方程时，则称μ（x，y）为（3）的一个积分因子，找积分因子，从而得到的解（或积分）的方法叫积分因子法。

　　(a≠0，1)叫伯努利方程。令u＝y^1-a，则可化为x和u的方程，且为线性方程，因而是可解的。

　　⑥高阶常系数线性方程　（其中系数a1，a2，…，an是实常数）是可解的。以二阶方程为例来说明：，（p，q为常数），它的求解归结为解代数方程：λ²＋pλ＋q＝0，设它的二根为（a）λ₁≠λ₂为实数，则通解为y＝c1＋c2；（b）λ₁＝λ₂为实数，则通解为y＝(c1x¹＋c2)，其中c₁、c₂为任意常数，（c）λ_1,2＝α±βi为复数，则通解为y＝（c₁cosβx＋c₂sinβx）e^ax。

　　⑦化为常系数方程法——欧拉方程。

　　　令x＝e^t，可化为　，这已是常系数方程了（原式中a₁与a₂都是常数）。

　　⑧降阶法。有一些方程可通过某些变换化为较低阶方程，因而求解就方便了。例如，二阶变系数方程一般不可解：但若知方程y″＋P（x）y′＋q（x）y＝0的一个解y＝y₁（x），令y＝y₁（x）u（x），则可化为y₁u″＋〔2y′₁＋P（x）y₁〕u′＝0。再令υ＝u?，则得到υ（x）的一阶方程，是可解的。

　　⑨常系数线性非齐次方程：y″＋py′＋qy＝r（x）。此时可用常数变易法求解（因为齐次方程可解）还可用待定系数法——当r（x）＝P（x）e^ax或〔P（x）cosβx＋Q（x）sinβx〕e^ax时，其中P（x）与Q（x）是多项式。

　　⑩常系数线性微分方程组

　　

　　归结为求特征方程

　　　的根λ₁，λ₂，…，λ_n及与之相应的特征向量的问题，在四阶以下一般是可能计算的。当有重根时，利用矩阵的级当标准形，仍可求得通解。

　　(11)首次积分法：设给出方程组

　　＝fi（x，y₁，y₂，…，y_n）（i＝1，2，…，n）　（4）

　　其中右端函数f₁，f₂，…，f₁在某区域D^Rn+1内连续，关于y₁，…，y_n可微,设函数Φ（x，y₁，…，y_n）在GD内可微，不是常数，但沿着（4）的任一解C：y₁＝y₁（x），…，y_n＝y_n（x）（x∈J），Φ≡c，C为常数，则称Φ＜c为（4）的一个首次积分。首次积分在常微分方程中可算一个独立课题，也可通过它求解常微分方程组，例如前述的二体问题。

　　1841年J.刘维尔证明黎卡提方程除υ＝0，1，2，…时有初等解，其他情况一般没有初等解，从理论上结束了求通解的尝试。相继发明了数值计算法（发展为计算数学的一部分）、定性理论、稳定性理论，在近代发展成若干前沿分支：分支理论，动力系统等。这首先要解决存在性问题，有柯西定理、毕卡定理等。