庞加莱猜想
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庞加莱猜想（Poincaré conjecture），拓扑学中重要的猜想之一。球面是数学中最简单且最常见的闭流形。从拓扑学的观点看，n维球面Sn的特征是什么？二维球面S2是单连通的闭曲面，而且每个单连通的闭曲面都和S2同胚。
代数拓扑学的奠基人，法国数学家H.庞加莱在1904年猜测：单连通的三维闭流形必与S2同胚。后人接着猜测：当维数n≥4时，单连通的闭流形如果与Sn有相同的同调群，亦必与Sn同胚。这就是n维的庞加莱猜想。
1960年，S.斯梅尔证明了维数n≥5的庞加莱猜想；1981年M.H.弗里德曼证明了四维的情形。庞加莱原来三维的猜想则尚未解决。
这一猜想简明易懂，却是考验我们对于流形的认识深度的一块试金石，每前进一步都曾引起拓扑学的跃进。四维庞加莱猜想的解决，又导致一个非常重要的发现：四维的欧氏空间与其余维数的欧氏空间不同，除了通常的微分结构以外它还有别的不寻常的微分结构。
