悖论

　　悖论（汉语拼音：Beilun；英语：paradox），自相矛盾的说法。即如果承认这个说法正确，就能推出这个说法不正确，反之，如果承认这个说法不正确，却又能推出这个说法正确。1900年前后在集合论中出现了一些悖论，例如罗素悖论和康托尔悖论。

　　①罗素悖论。把所有满足条件x不属于x的集合x组成一个集合A，即 A是一切不属于自身的集合所组成的集合， A＝｛x｜xx｝。在初期的集合论中，这样定义一个集合是允许的，既然承认A是一个集合，那么它是否满足AA？假定AA，那么A属于所定义的集合，即A∈A，矛盾；假定A∈A，于是A不属于这样定义的集合，即AA，也自相矛盾。

　　②康托尔悖论。设V 是由一切集合所组成的集合。考虑集合V的基数，康托尔证明，V的幂集P（V）的基数（V）大于；但根据V的定义，任何集合都是V的子集，因而不存在其基数大于的集合，自相矛盾。

　　这些悖论在当时震动了数学界。产生悖论的原因是那时的集合论本身还不够严格。为了避免悖论，数学家们重新研究集合的概念，进行严格整理，于是产生了多种集合论公理系统。