概率数论

概率数论（英语：probabilistic number theory），综合应用数论和概率方法研究数论函数值分布的数论研究领域。是概率论对解析数论的重要应用，又称数的概率理论。它的一个中心问题是对于数论函数f(n)寻找使频率ν_x(n;f(n)－α (x)≤z β(x))具有一个极限分布(当x→∞)的充要条件，此处ν_x(n;A )表示频率［x］⁻¹N_x(n;A )，而N_x(n;A )表示在区间［1,x］中具有性质A 的正整数n的个数，α(x)和β(x)＞0是适当选取的函数。

概率数论开始于1917年G.H.哈代和S.A.拉马努金关于数论函数ω(n)的研究，此处ω(n)表示n的不同素因子的个数，如ω(1)＝0，ω(2)＝1，ω(20)＝2，ω(30)＝3，ω(p)＝1，ω(p₁·…·p_s)＝s（此处p为素数，p₁，…，p_s为不同的素数），因此ω(n)(n＝1,2,…)的分布很不规则，它可以取任意大的整数值，而又无穷多次取值1，2，3等，因此研究ω(n)的值分布就从研究ω(n)在[1,x]中的期望值入手。这个期望值渐近地等于

。哈代和拉马努金证明了

其中 ψ( y)是任何当 y趋于无穷亦趋于无穷的函数。因此在 ω( n)(1≤ n≤ x)中只有极少数是偏离 lnln x的。1934年P.图兰给出上述结果的一个新证明。其后，爱尔特希和M.卡茨发展了他的方法，于1939年证明了中心极限定理：设 f(n)是一个强加性函数，即当(m, n)＝1时， f(m n)＝ f( m)+ f( n)，且 f( p^k)＝ f ( p)，其中 k＝1,2,…，并且|  f( p)|≤1，又令

，则当 B(x)→∞（当x→∞）时，

它被称为 爱尔特希–卡茨定理。特别取 f( n)＝ ω( n)，则得

对概率数论做过重要贡献的还有I.P.库比柳斯、M.B.巴班、A.温特纳及P.D.T.A.埃利奥特等人。

参见

• 数学
• 数学基本条目

• 数论