流体运动稳定性

　　流体运动稳定性（fluid motion，stability of），某种形态的流体运动受初始扰动后恢复原来形态的能力。若运动能恢复原来形态，则流体的运动为稳定的，反之为不稳定的。1883年O.雷诺首次做了层流过渡为湍流的实验，后来人们认识到这种过渡是层流的一种失稳现象。不少自然现象和工程技术问题，例如台风形成、大气波动、边界层转捩、激光核聚变中的球面压缩等，都涉及流体运动稳定性问题。

　　概述　流体运动稳定性理论研究流体运动稳定的条件和失稳后流动的发展变化，包括层流过渡为湍流的过程。在理论研究中，常从扰动量（包括扰动速度等）变化着手。如果假定扰动为无限小，可建立小扰动理论，即线化理论；如果扰动为有限值，可建立有限扰动理论。层流向湍流过渡，必从失稳开始。但失稳后可能转变为另一种层流，而不一定过渡为湍流。L.D.朗道1944年提出一种可能的过渡形式：随着某流动参数（例如雷诺数）逐渐增大，原先的层流失稳并变为另一种稳定层流；参数继续增大时，此层流将再失稳而变为另一种更复杂的层流，如此继续下去，终于失去层流的规律性而转变为湍流。这种过程称为重复分叉。小扰动理论可用于求第一个分叉点。对于某些流动，如热对流和两同轴圆筒间的库埃特流，实验已证实存在第一和第二个分叉点；而另外一些流动，如圆管中的泊肃叶流（层性管流），一旦失稳，总是立即转变为湍流。

　　界面的稳定性　两种不同流体有一明确界面时的稳定性问题。包括以下两个问题。①瑞利-泰勒稳定性问题。两种流体均静止且界面为水平面时的稳定性问题。若上下两层流体的常值密度分别为ρ₁、ρ₂，且所占空间在各方向都伸展至无穷远，根据小扰动理论可证明，当ρ₁＜ρ₂时，界面稳定；反之不稳定，这时界面的表面张力可使波数大于某一定值的扰动波衰减，但不能使所有波数的扰动波衰减。②开尔文-亥姆霍兹稳定性问题。不同密度的无粘均匀流体作平行于水平界面的相对运动时的稳定性问题。最简单的情形是两种流体的速度均为常值且方向相同，上下层流体的速度分别为v₁和v₂，密度分别为ρ₁和ρ₂（ρ₁＜ρ₂），且流体在各方向都伸展至无穷远。若不计界面的表面张力，按小扰动理论，不论v₁－v₂为何值，界面都是不稳定的。若考虑表面张力σ，则相对速度满足下式时不稳定：，式中g为重力加速度。

　　热对流的稳定性流体受热不均匀时的稳定性问题。1900年H.贝纳尔做了如下实验：在温度均匀的水平金属板上盛一薄层液体（鲸油）。当加热金属板但液体上下面温差不大时，热量通过传导方式自下向上传递，液体保持静止。当温差达到某值时，液体失稳而开始流动。此流动为有规则的层流，流场呈现规则的胞状结构。每一胞状结构中，流体自中心至边缘形成环流。瑞利用小扰动理论研究此问题，发现稳定性取决于瑞利数：Ra＝d³ΔT，其中g、β、κ、v分别为重力加速度，液体的体胀系数、热导率、运动粘性系数，d为液层厚度；ΔT为液体上下面温差绝对值。当液体上下两面均与金属板接触而无自由表面时，临界Ra值为1708，与实验结果非常吻合。如果液体薄层有自由表面，则表面张力可促使液体更早发生不稳定现象。

　　平行流动的稳定性　流体水平单向宏观运动的稳定性问题。若平行流受初始扰动后能恢复原来形态，则为稳定的，反之为不稳定的。这类流动的特点是，一旦失稳，立即转变为湍流而不再形成层流二次流。研究平行流稳定性的理论有小扰动（线性）理论和有限扰动（非线性）理论。前者将问题归结为一特征值问题，例如对于两平行平板间的平面流动，就归结为求奥尔-索末菲方程边值问题的特征值分布。该方程在20世纪初即已提出，但直到1944年林家翘才比较彻底地解决了这个数学难题，从而求得从层流过渡为湍流的临界雷诺数Recr为5772。但实验表明，雷诺数远小于此值时，层流即过渡为湍流。实验与小扰动理论之间的不一致，使人有理由认为在小扰动理论预测为稳定，但实际已发生过渡现象的雷诺数范围内，未扰层流对小扰动虽是稳定的，但对有限扰动可能是不稳定的。因此要全面解决问题，必须考虑有限扰动。60年代初，逐渐形成一种考虑有限扰动的弱非线性理论。它实际上是从天体力学和非线性振动理论中常用的小参数法、渐近法等引申出来的。弱非线性理论本质上也是一种对某小参数展开的渐近法，它虽不要求扰动无限小，但仍要求扰动不能太大。因此，它的适用范围有限，不能充分说明层流到湍流的过渡现象。

　　除非线性问题外，扰动的三维性质也是重要因素。对于平面平行层流，理论上虽已证明二维扰动最易引起小扰动失稳，但实验已经证实，在向湍流的过渡中，三维扰动起着重要作用。因此，理论上考虑有限扰动问题时，不能仅限于二维扰动。