矩阵

　　矩阵（matrix），数学概念和工具之一。由m×n个数a_ij（i=1，…，m；j=1，…，n）排成i行j列数表：

　　　　

　　称为一个m×n矩阵，简记为A=（a_ij）mn。若m=n，也称A是一个n阶矩（方）阵。两个矩阵仅当行、列数分别相等且对应元素相等时称为相等。若a_ij取自数域F，则称A为F上的矩阵。对调A的行列所得n×m矩阵A′称为A的转置。若A=A′，则称A为对称矩阵。矩阵最基本、最重要的运算有：①加法：A=（a_ij）mn，B=（b_ij）mn，称（a_ij+b_ij）mn为A与B之和，记作A+B；②数乘：A=（aij）mn，k∈F，称（ka_ij）为k与A之积，记作kA；③乘法：A=（a_ij）ms，B=（b_ij）Sn，记c_ij=a_isb_is+a_isb_ij，称C=（c_ij）mn为A与B之积，记作AB，矩阵的运算满足一些熟知的运算律：加法，乘法结合律；加法交换律；乘法对加法的分配律；以及数乘与加法，乘法间满足k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，（kl）A=k（lA），k（AB）=（kA）B等。称：

　　　　

　　　　

　　为零矩阵和单位矩阵，它们在矩阵运算中的作用与数0，1在数的运算中的作用相同。但矩阵的乘法不满足交换律和消去律，例如，

　　　　

　　可逆矩阵是一类重要的矩阵：设A是n阶矩阵，若存在B，使AB=BA=I，则称A是可逆矩阵，B称为A的逆，记作A^－1。由n阶矩阵A的元素a_ij排成的n阶行列式D=｜a_ij｜n。称为A的行列式，记作｜A｜。若A可逆，则A^－1=，这里：

　　　　

　　称为A的伴随方阵，A_ij¹bD中a_ij的代数余子式。

　　矩阵的行初等变换是：①交换矩阵的两行；②用一个非零数乘矩阵的某一行；③用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上，类似的有矩阵的列初等变换，对矩阵A施行行（列）初等变换相当于用以下类型初等矩阵左（右）乘A，

　　　　

　　　　

　　　　

　　初等矩阵都是可逆矩阵，且

　　矩阵A中非零子式的最大阶数称为它的秩，记作秩（A）。零矩阵的秩为0。秩是刻画矩阵的一个重要概念，其几何意义是矩阵行空间的维数，在初等变换下不改变。n阶矩阵A可逆秩(A)=n｜A｜≠0。

　　设P、Q是可逆矩阵，若B=PAQ，则称B与A等价；若B=P－1AP，则称B与A相似；若B=P′AP，则称B与A合同。矩阵的等价、相似、合同都有自反性、对称性、传递性，因而都是等价关系。B与A等价秩（A）=秩（B）。若B与A相似，则B与A有相同的特征多项式，因而有相同的特征值（见特征值和特征向量）。

　　矩阵的初等变换有着广泛的应用，如用来解线性方程组；求可逆矩阵之逆；解某些矩阵方程等等。

　　在许多问题的研究中，可将所讨论的问题通过其矩阵表示归为矩阵问题的研究，因此矩阵是一个重要的工具。例如，解线性方程组归为对增广矩阵做行的初等变换；若σ是n维空间Υ上的线性变换，α₁，α₂…，α_n是V的基，σ关于基αi的矩阵为A，则σ能否化为对角矩阵（即当i≠j时a_ij都等于零的矩阵）问题归为A能否与对角矩阵相似的问题；二次型f（x₁……x_n）=（x₁……x_n）A（x₁…x_n）′是否存在变量可逆代换使f只含平方项，归为A是否合同于对角矩阵的问题。

　　中国《九章算术》方程章中所说“方程”就是矩阵，“方程术”就是高斯消去法，尽管用矩阵形式解方程组已相当成熟，比欧洲至少早1500年，但没有建立独立的矩阵理论。19世纪中期（1850年前后），行列式的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵理论得到迅速发展；同研究线性变换下的不变量相结合，A.凯莱对矩阵论作了开创性的研究，他首先定义了矩阵，并对矩阵进行独立研究，讨论了矩阵的运算，特殊类型的矩阵，给出了凯莱-哈密顿定理，并对3阶方阵进行了验证。以后C.若尔当和F.G.弗罗贝尼乌斯进一步进行了深入的研究。这个时期的结果多数反映在目前线性代数的教科书中。随着各学科的发展，矩阵的研究也日益广泛深入，矩阵的元素早已不限于数，矩阵的阶数也由有限发展到无限，对矩阵函数的讨论使矩阵从矩阵代数走向矩阵分析。