解析几何学
解析几何学（英语：analytic geometry），数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具。它的产生和发展，曾在数学的发展过程中起着重要的作用。几何学借助于坐标系，用坐标表示点，用方程表示图形，通过研究方程来研究图形的几何性质。这种研究几何的方法是R.笛卡儿和P.de费马各自独立创始的。解析几何的创立，为微积分的出现铺平了道路，推动数学从常量数学向变量数学发展。由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，现在它已经成为几何研究中的一个基本方法。
解析几何研究的两个基本问题是：①根据已知条件，建立图形（曲线和曲面）和方程。②通过方程研究图形的几何性质。由于点的位置移动，既有距离又有方向，因此我们把位移看成一个向量（即既有大小又有方向的量，又称矢量），这样就可以把有关基本几何量长度和角度的问题与向量的运算联系起来，从而把几何的推理化为向量的运算。因此向量的代数运算在解析几何中，有着非常重要的意义。特别在空间解析几何中，向量代数现在已经成为不可缺少的研究工具。经典平面解析几何主要研究直线和二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等圆锥截线）的理论，空间解析几何主要研究空间直线和平面以及二次曲面（包括椭球面、双曲面及抛物面、二次柱面及二次锥面等）的理论，此外也研究一些其他的曲线和曲面。解析几何中表示曲面和曲线有时也采用参数方程。在平面解析几何中除了采用直角坐标系以外，有时也采用极坐标系。
很早以前，古希腊数学家对圆锥曲线曾作过较系统的研究，仅从内容来看，可说是解析几何的萌芽。17世纪初，生产的发展和科学技术的进步，给数学不断提出新的问题，要求数学从运动变化的观点加以研究和解决，例如在变速运动中，如何解决速度、路程和时间的变化问题，以及抛射体的运动规律等等。只用初等数学的方法，是无能为力的，因此要求突破研究常量数学的范围和方法，而提供用以描述和研究物体运动变化过程所需的新的数学工具变量数学。
法国数学家R.笛卡儿和P.de费马首先认识到新的数学学科解析几何学产生的必要和可能。其中笛卡儿是解析几何的主要创建者。他认为数学绝不单是为了锻炼人们的思考能力，主要是为了说明自然现象，因此必须给说明静止状态的数学以新的解释。他于1637年发表了一篇著作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》，在此书的附录《几何学》中，较全面地叙述了解析几何的基本思想和观点，并创造了一种方法，即引进坐标，首先建立了点与数组的一一对应关系。进而将曲线看作是动点的轨迹，应用变量所适合的方程来表示。费马也提出：凡含有两个未知数的方程，总能确定一个轨迹。并根据方程，描绘出曲线。综上所述，解析几何的基本内涵和方法，是通过坐标的建立，将几何的基本元素点和代数的基本研究对象数对应起来，然后在这个基础上，建立起曲线或曲面与方程的对应。如已知动点的某种运动规律，即可建立动点的轨迹方程；有了变量所适合的某个方程，就可作出它表示的几何图像，并根据方程讨论一些几何性质。这样就将几何与代数紧密结合起来，利用代数方法来解决几何问题。而且这种方法已成为研究和解决某些运动变化问题的有力工具。由于变量数学的引进，大大地推动了微积分学的发展，使整个数学学科有了重大进步，因此解析几何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃。
另外，著名物理学家、数学家I.牛顿、L.欧拉、J.-L.拉格朗日等人，对解析几何的发展，也曾作出重要贡献。
从解析几何的产生到现在，经过了一段很长的发展历程。现在一般所讲的还是属于经典解析几何的范畴，所用的方法除上面讲到的坐标法外，兼引入了向量法，通过向量的运算来讨论曲线和曲面的一些几何性质，这对某些问题的讨论带来很大方便，但因研究方法的限制，所研究的内容还是有较大的局限性。一般仅限于二维空间的曲线，系统研究的为二次曲线以及三维空间里的曲线与曲面，系统研究的为二次曲面以及锥面、柱面和旋转曲面，曲线多作为两曲面的交线。对这些曲线和曲面的研究也多限于一些较简单的性质。而现代解析几何的研究方法是多样的，研究内容也非常广泛；作为经典解析几何推广的数学分支代数几何，已成为利用抽象代数的方法，对代数簇进行研究的一门学科。
