高斯定理

　　高斯定理（Gauss theorem），矢量分析的重要定理之一。它给出，矢量场通过任意闭合曲面的通量（面积分）等于该矢量场的散度在闭合曲面所包围体积内的积分（体积分）。如果通量恒为零，则矢量场是无源场亦称无散场；如果通量可以不为零，则矢量场是有源场亦称有散场。高斯定理是比较、区别各种矢量场特征的重要手段之一。

　　电场的高斯定理 高斯定理是静电场的基本方程之一。它给出，通过任一闭合曲面的电通量正比于该闭合曲面内电荷的代数和，即

　　　　

　　式中V是S包围的体积；在真空中，是V内自由电荷的代数和，在有电介质时，是V内自由电荷和极化电荷的代数和 。

　　有电介质时，由于极化电荷未知，可利用电位移D把静电场的高斯定理表为

　　　　

　　对于线性各向同性电介质，D＝ε₀ε_rE，ε_r是相对电容率 ，上式又可写成

　　　　

　　式中是V内自由电荷的代数和。

　　静电场的高斯定理由库仑定律和场强叠加原理（见电场强度）证明。它揭示了静电场是有源场这一特性，正电荷是发出电力线的源头，负电荷是会聚电力线的尾闾。另外，高斯定理还提供了计算某些对称分布静电场场强的方法，如均匀带电球、无限大均匀带电面以及无限长均匀带电圆柱的电场等。

　　由变化磁场产生的有旋电场E_旋的高斯定理为

　　　　

　　它表明有旋电场是无源的，与静电场不同。

　　静电场的高斯定理还适用于随时间变化的情形，把推广后的结果和有旋电场的高斯定理合并，得出

　　　　

　　式中E是静电场与有旋电场之和的总电场的场强，上式是麦克斯韦方程组的组成部分。

　　磁场的高斯定理　电流产生的磁场或变化电场产生的磁场或两者之和的总磁场都遵循同样的高斯定理，

　　　　

　　它表明磁场是无源的，上式也是麦克斯韦方程组的组成部分。