高斯曲率

　　高斯曲率，曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲面在P点处的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k＝k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。它反映了曲面的一股弯曲程度。高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E³的原点O处，那么n的终点的轨迹是以O为中心的单位球面 S²上的一块区域 Δб^* 。这个对应称为高斯映射。曲面在P点邻近弯曲程度可用Δб^*( 其面积仍用Δб^*表示）与Δб的面积比刻画。曲面在P点的高斯曲率的绝对值正是这个比值当Δб收缩成P点时的极限。亦即

　　　　

　　高斯曲率的符号则指明曲面弯曲的朝向。