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'''千禧年大奖难题'''([[英语]]:Millennium Prize Problems),是七个由[[美国]][[克雷数学研究所]](Clay Mathematics Institute,CMI)于2000年5月24日公布的数学难题,解题总奖金700万美元。根据克雷数学研究所制定的规则,这一系列挑战不限时间,题解必须发表在国际知名的出版物上,并经过各方验证,只要通过两年验证期和专家小组审核,每解破一题可获奖金100万美元。 这些难题旨在呼应1900年[[德国]][[数学家]][[大卫·希尔伯特]]在[[巴黎]]提出的希尔伯特的23个问题(23个历史性数学难题),经过一百年,约17个难题至少已被部分解答。而千禧年大奖难题的破解,极有可能为[[密码学]]、[[航天]]、[[通讯]]等领域带来突破性进展。 迄今为止,在七个问题中,[[庞加莱猜想]]是唯一被解决的,2003年,俄罗斯数学家[[格里戈里·佩雷尔曼]]证明了它的正确性。而其它六道难题仍有待研究者探索。 '''希尔伯特的23个问题:''' 希尔伯特的23个问题,是德国数学家[[大卫·希尔伯特]]于1900年在[[巴黎]]举行的第二届[[国际数学家大会]]上作了题为《数学问题》的演讲,所提出23道最重要的[[数学]]问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。希尔伯特问题中未能包括[[拓扑学]]、[[微分几何]]等领域,除[[数学物理]]外很少涉及[[应用数学]],更不曾预料到[[电脑]]的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。希尔伯特问题中的1-6是[[数学]]基础问题,7-12是[[数论]]问题,13-18属于[[代数]]和[[几何]]问题,19-23属于[[数学分析]]。 == 问题解决进度 == 以下列出希尔伯特的23个问题,各问题的解答状况可参见各问题条目。 {| class="wikitable sortable" |- bgcolor="#efefef" !# !主旨 !进展 !说明 |- | [[希尔伯特第一问题|第1题]] | [[连续统假设]] | {{Maybe|部分解决}} |1963年[[美国]]数学家[[保罗·柯恩]]以[[力迫|力迫法]]证明连续统假设不能由[[策梅洛-弗兰克尔集合论|策梅洛-弗兰克尔集合论]](无论是否含[[选择公理]])推导。也就是说,连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。 |- | [[希尔伯特第二问题|第2题]] | 算术公理之[[形式系统相容性|相容性]] | {{Maybe|部分解决}} |[[库尔特·哥德尔]]在1931年证明了[[哥德尔不完备定理|哥德尔不完备定理]],但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界没有共识。 |- | [[希尔伯特第三问题|第3题]] | 两[[多面体|四面体]]有相同[[体积]]之证明法 | {{Yes|已解决}} |'''答案:否。'''1900年,希尔伯特的学生[[马克斯·德恩]]以一反例证明了是不可以的。 |- | [[希尔伯特第四问题|第4题]] | 建立所有[[度量空间]]使得所有线段为[[测地线]] | 太隐晦 |希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。 |- | [[希尔伯特第五问题|第5题]] | 所有连续[[群]]是否皆为[[可微群]] | {{Yes|已解决}} |1953年日本数学家[[山边英彦]]证明在无“小的子群”情况下,答案是肯定的<ref>{{Cite journal|title=On Continuous Isomorphisms of Topological Groups|url=http://dx.doi.org/10.1017/s0027763000022881|last=Gotô|first=Morikuni|last2=Yamabe|first2=Hidehiko|date=1950-06|journal=Nagoya Mathematical Journal|doi=10.1017/s0027763000022881|volume=1|pages=109–111|issn=0027-7630}}</ref>;但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界仍有争论。 |- | [[希尔伯特第六问题|第6题]] | 公理化[[物理]] | {{Maybe|部分解决}} |希尔伯特后来对这个问题进一步解释,而他自己也进一步研究这个问题。[[柯尔莫戈洛夫|柯尔莫哥洛夫]]对此[[概率公理|也有贡献]]。然而,尽管公理化已经开始渗透到物理当中,量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分(如[[量子场论]]),故该问题未完全解决。 |- | [[希尔伯特第七问题|第7题]] | 若''b''是[[无理数]]、''a''是除[[0]]、[[1]]之外的[[代数数]],那么''a<sup>b</sup>''是否[[超越数]] | {{Yes|已解决}} |'''答案:是。'''分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德[[格尔丰德-施奈德定理|独立地解决]]。 |- | [[希尔伯特第八问题|第8题]] | [[黎曼猜想]]及[[哥德巴赫猜想]]和[[孪生素数猜想]] |{{No|未解决}} |虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况,三个问题均仍未被解决。 |- | [[希尔伯特第九问题|第9题]] | 任意代数数域的一般[[互反律]] | {{Maybe|部分解决}} |1927年德国的[[埃米尔·阿廷]]证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的;此外的情况则尚未证明。 |- | [[希尔伯特第十问题|第10题]] | [[不定方程]]可解性 | {{Yes|已解决}} |'''答案:否。'''1970年由苏联数学家[[尤里·马季亚谢维奇]]证明。 |- | [[希尔伯特第十一问题|第11题]] | 代数系数之[[二次形式]] | {{Maybe|部分解决}} |有理数的部分由[[哈塞]]于1923年解决。 |- | [[希尔伯特第十二问题|第12题]] | 一般代数数域的阿贝尔扩张 | {{No|未解决}} |[[埃里希·赫克]]于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘{{Link-en|复乘理论|Complex multiplication}}已基本解决。一般情况下则尚未解决。 |- | [[希尔伯特第十三问题|第13题]] | 以[[二元函数]]解任意[[七次方程]] | {{Maybe|部分解决}} |1957年苏联数学家[[柯尔莫戈洛夫|柯尔莫哥洛夫]]和[[弗拉基米尔·阿诺尔德]]证明对于单值解析函数,答案是否定的;然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形,因此该问题未获得完全解答。 |- | [[希尔伯特第十四问题|第14题]] | 证明一些[[函数完全系统]](Complete system of functions)之有限性 | {{Yes|已解决}} |'''答案:否。'''1962年日本人[[永田雅宜]]提出反例。 |- | [[希尔伯特第十五问题|第15题]] | {{link-en|舒伯特演算|Schubert calculus}}之严格基础 | {{Maybe|部分解决}} |一部分在1938年由[[范德瓦登]]得到严谨的证明。 |- | [[希尔伯特第十六问题|第16题]] | 代数[[曲线]]及[[表面]]之[[拓扑结构]] | {{No|未解决}} |此问题进展缓慢,即使对于度为8的代数曲线也没有证明。 |- | [[希尔伯特第十七问题|第17题]] | 把[[有理函数]]写成[[平方和]][[分式]] | {{Yes|已解决}} |'''答案:是。'''1927年[[埃米尔·阿廷]]解决此问题,并提出[[实封闭域]]。<ref>{{Cite book|chapter=Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate|title=Emil Artin Collected Papers|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-5717-2_21|publisher=Springer New York|date=1965|location=New York, NY|isbn=9781461257189|pages=273–288|first=Emil|last=Artin}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Algebraische Konstruktion reeller Körper|url=http://dx.doi.org/10.1007/bf02952512|last=Artin|first=Emil|last2=Schreier|first2=Otto|date=1927-12|journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|issue=1|doi=10.1007/bf02952512|volume=5|pages=85–99|issn=0025-5858}}</ref> |- | [[希尔伯特第十八问题|第18题]] | 非正[[多面体]]能否密铺空间、[[球体]]最紧密的排列 | {{Yes|已解决}} |1911年{{Link-en|比伯巴赫(数学家)|Ludwig Bieberbach|比伯巴赫}}做出“n维[[欧氏几何]]空间只允许有限多种两两不等价的[[空间群]]”;{{Link-en|莱因哈特|Karl Reinhardt (mathematician)}}证明不规则多面体亦可填满空间;[[托马斯·黑尔斯]]于1998年提出了初步证明,并于2014年8月10日用计算机完成了[[开普勒猜想]]的形式化证明,证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。 |- | [[希尔伯特第十九问题|第19题]] | [[拉格朗日]]系统(Lagrangian)之解是否皆[[可解析]] | {{Yes|已解决}} |'''答案:是。'''1956年至1958年{{tsl|en|Ennio de Giorgi}}和[[约翰·福布斯·纳什|约翰·福布斯·纳什]]分别用不同方法证明。 |- |[[希尔伯特第二十问题|第20题]] | 所有[[边值问题]]是否都有解 | {{Yes|已解决}} |实际上工程和科研中遇到的边值问题都是[[适定]]的,因而都可以确定是否有解。<ref>{{Cite journal|title=The solvability of boundary value problems (Hilbert’s problem 19)|url=http://dx.doi.org/10.1090/pspum/028.2/0427784|last=Serrin|first=James|date=1976|journal=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|doi=10.1090/pspum/028.2/0427784|pages=507–524|issn=2324-707X}}</ref> |- | [[希尔伯特第二十一问题|第21题]] | 证明有线性[[微分方程]]有给定的单值群(monodromy group) | {{Yes|已解决}} |此问题的答案取决于问题的表述:部分情况下是肯定的,部分情况下则是否定的。 |- | [[希尔伯特第二十二问题|第22题]] | 将解析关系(analytic relations)以{{link-en|自守函数|Automorphic function}}一致化 | {{Maybe|部分解决}} |1904年由{{link-en|保罗·克伯|Paul Koebe}}和[[庞加莱]]取得部分解决。详见[[单值化定理]]。 |- | nowrap|[[希尔伯特第二十三问题|第23题]] |[[变分法|变分法]]的长远发展 | 开放性问题 |包括希尔伯特本人、[[昂利·勒贝格]]、[[雅克·阿达马]]等数学家皆投身于此。[[理查德·贝尔曼]]提出的[[动态规划]]可作为变分法的替代。 |} === 参见 === * [[大卫·希尔伯特]] * [[国际数学家大会]] * [[千禧年大奖难题]] * [[斯梅尔问题]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:希尔伯特问题]] [[Category:数学中未解决的问题]] [[Category:千禧年大奖难题]]
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