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'''代数K 理论'''([[英语]]:algebraic K-theory),20世纪60年代兴起的一个新[[代数学]]分支。它主要研究对环定义的一些交换群:K<sub>0</sub>群,K<sub>1</sub>群,K<sub>2</sub>群,K<sub>n</sub>群(n为整数)以及相应的函子K<sub>0</sub>,K<sub>1</sub>,K<sub>2</sub>及K<sub>n</sub>(其中K<sub>0</sub>,K<sub>1</sub>,K<sub>2</sub>为研究重点)的理论。 环R的K<sub>0</sub>群K<sub>0</sub>(R)可由R上的有限生成投射模〔有限生成自由模(即有有限基的模)的直和项〕的同构类来定义,对K<sub>0</sub>(R)的研究起源于[[A.格罗森迪克]]关于推广[[代数几何]]中的黎曼–罗赫定理的工作。对数域的代数整元环A,K<sub>0</sub>(A),'''Z'''⊕Cl(A),其中'''Z'''为整数加群,Cl(A)为A的理想类群,其元素个数称为A的类数,在数论中关于A的因子分解唯一性研究中起着重要的作用。 对任意的n,R<sup>n</sup>上一般线性群(可逆矩阵群)GL<sub>n</sub>(R)主对角线上添上∞个1,其他位置加0即得GL(R)。GL(R)的阿贝尔化GL(R)/[GL(R),GL(R)]([A,B]≡ABA<sup>−1</sup>B<sup>−1</sup>)即为K<sub>1</sub>(R)。取出R上初等矩阵的三个运算公式作为{x<sub>ij</sub>(a)∣i≠j,a∈R}的运算公式得到一个群St(R),此群到R上初等矩阵群E(R)的标准同态(x<sub>ij</sub>(a)→e<sup>a</sup><sub>ij</sub>)之核为一个阿贝尔群,此即K<sub>2</sub>(R)。利用拓扑方法可定义K<sub>n</sub>(R)。 代数K理论在[[群论]]、[[环论]]、[[代数几何]]、[[代数数论]]以及[[算子代数]]中都有重要应用。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] *[[代数学]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:代数学]] [[Category:中文词典]] [[Category:D音词语]] [[Category:代]]
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