勒贝格积分

　　勒贝格积分（汉语拼音：lè bèi gé jī fēn），（Lebesgue integral），分析数学中普遍使用的工具。1902年由法国数学家H.L.勒贝格建立。它是黎曼积分（简记为（R）积分）的重要推广，它克服了(R）积分的许多局限性。一个在[a，b]上(R）可积的有界函数一定在[a，b]上勒贝格可积〔简记为（L）可积〕，但反之不然。典型的例子是狄利克雷函数D（x），它在[0，1]中的有理数上取值为1，在其余点取值为0，则D（x）在[0，1]上有界，（R）不可积，但（L）是可积的，积分值为0。

　　（L）积分除了具有与（R）积分相似的性质(例如线性性质、对积分区域的有限可加性、单调性等）外，还有其特有的性质：对积分区域的可列可加性、唯一性、绝对可积性、绝对连续性，以及有关交换积分与极限次序的三大定理：单调收敛定理、法都引理、勒贝格控制收敛定理等。正是这些基本性质使得（L）积分具有广泛的应用。例如：利用单调收敛定理及（L）积分与（R）积分间的关系，可以很容易地进行逐项积分，得到

　　　　

　　但是如果对

　　　　

　　用（R）积分理论进行逐项积分，就需要验证级数在[0，1]上的一致收敛性，这是不可能的，因为该级数在x＝1处发散，这也正说明（R）积分理论对于交换积分与极限次序的条件太强、太苛刻。