图 (数学)
图（英语：Graph），在离散数学中，用于表示物体与物体之间存在某种关系的结构。数学抽象后的“物体”称作节点或顶点（Vertex，node或point），节点间的相关关系则称作边。在描绘一张图的时候，通常用一组点或小圆圈表示节点，其间的边则使用直线或曲线。
图中的边可以是有方向或没有方向的。例如在一张图中，如果节点表示聚会上的人，而边表示两人曾经握手，则该图就是没有方向的，因为甲和乙握过手也意味着乙一定和甲握过手。相反，如果一条从甲到乙的边表示甲欠乙的钱，则该图就是有方向的，因为“曾经欠钱”这个关系不一定是双向的。前一种图称为无向图，后一种称为有向图。
图是图论中的基本概念。1878年，詹姆斯·西尔维斯特首次使用“图”这一名词：他用图来表示数学和化学分子结构之间的关系（他称为“化学图”，chemico-graphical image）。
目录
定义
在图论中，图的定义有很多。下面是一些比较基本的定义方式以及与它们相关的数学结构。
无向图
一张图（为了和有向图区分，也称无向图；为了和多重图区分，也称简单图）是一个二元组G = (V, E)，其中集合V中的元素称为节点，集合E中的元素是两个节点组成的无序对，称为边。集合V称为点集，E称为边集。
一条边{ x , y } 上的两个节点x和y称作这条边的顶点或端点；也说这条边连接了节点x和y，或这条边与x和y关联（incident）。一个节点可以不属于任何边，即它不与任何节点相连。由于{x, y}是无序对，{x, y}和{y, x}表示的是同一个元素。
更一般地，多重图的定义中允许同一对节点之间存在多条不同的边。在特定语境中，多重图也可以直接称作图。此时，在上面的定义中，集合E应该为多重集。
有时，图的定义中允许自环（简称环，loop），即一条连接一个节点和其自身的边。允许自环的图也称为自环图。
点集V一般是有限集；这意味着边集E也是有限集（不考虑多重图）。相对地，无限图（infinite graph）中的点集可以是无限的。然而，由于有限图中的结论大多不能延伸到无穷图，无穷图通常更被视为一种特殊的二元关系。
一个点集为空集的图称为空图（因此边集也是空集）。图的阶（order）是指其中节点的数量，即|V|。图的边数是指其边的数量，即|E|。图的大小（size）一般也指图的边数。但在一些语境中，例如描述算法复杂度的时候，图的大小是指|V|+|E|（否则非空图的大小也有可能是0）。节点的度（degree或valency）是指连接到该节点的边的数量；对于允许自环的图，环要算做两条边（因为两端都连接到这个节点）。
如果一个图的阶是n，则其节点的度最大可能取n-1（对于允许自环的图则是n），而边最多可能有n(n − 1)/2条(对于允许自环的图则是n(n + 1)/2）。
在图的定义中，边的概念定义了节点上的一个对称关系，即“邻接”关系（adjacency relation）。具体地说，对于两个节点x和y，如果{x, y}是一条边，则称它们是邻接的。一张图因此可以用其邻接矩阵A来表示，即一个n×n的矩阵，其中每个元素Aij表示节点i和j之间的边的数量。对于一个简单图，总有.png){kind=small}
，分别表示“不相连”和“相连”，而Aij=0（即一条边的两个顶点不能相同）。允许自环的图Aij的取值可以是非负整数，而多重图则允许任何Aij的取值都是非负整数。无向图的邻接矩阵是对称阵（Aij=Aij）。
有向图
边为有方向的图称作有向图（directed graph或digraph）。
有向图的一种比较严格的定义是这样的：一个二元组G=(V,E)，其中
- V是节点的集合；
-
是边（也称为有向边，directed edge或directed link；或弧，arcs）的集合，其中的元素是节点的有序对。
2.png){kind=small}
为了和多重图区分，这样的有向图也称为有向简单图。
在从x到y的边(x,y)上，节点x和y称作这条边的顶点，其中x是起点或尾（tail），y是终点或头。也说这条边连接了节点x和y、这条边与节点x和y关联。一张有向图中的节点可以不属于任何一条边。边(y,x)称为边(x,y)的反向边。
节点的出度（out-degree）是指起点为该节点的边的数量；节点的入度（in-degree）是指终点为该节点的边的数量。
更一般地，如果一张有向图允许多条头尾都分别相同的边，则称这样的图为有向多重图，这样的边称为多重边。一种允许多重边的的有向图定义方法如下：一个有向图是这样的三元组
：
- V是节点的集合；
- E是边的集合；
-
是一个关联函数，将每条边映射到一个由顶点组成的有序对上（即一条边被按顺序关联到两个顶点）。
自环是指一条起点和终点相同的边。前面的两个定义都不允许自环，因为若节点x上有一个自环，则边(x,x)存在；但这样的边不在3.png){kind=small}
中。因此，如果要允许自环，则上面的定义要做修改：对于有向简单图，E的定义应该修改为4.png){kind=small}
；对于有向多重图，ϕ的定义应该修改为5.png){kind=small}
。为了避免定义不清，这样的图分别称作允许自环的有向简单图或允许自环的有向多重图（quiver）。
在允许自环的有向简单图G中，边是V上的一个齐次关系（homogeneous relation），称作G上的邻接关系。 对于顶点是x和y的边(x,y)，我们说x和y是彼此邻接的，记作x～y。
混合图
边既可以有向、也可以无向的图称作混合图。混合简单图是一个多元组G = (V, E, A)，而混合多重图则是多元组G = (V, E, A, ϕE, ϕA)，其中V、E（无向边集）、A（有向边集）、ϕE、ϕA的定义可以参考前面的无向图和有向图定义。在此定义下，有向图和无向图是混合图的特殊情况。
赋权图
赋权图（weighted graph，也称加权图、网络（network）），是指每条边都对应有一个数字（即“权重”，weight）的图。根据具体问题，权重可以表示诸如费用、长度或容量等意义。这样的图会出现在最短路径问题和旅行商问题等问题中。
基本术语
- 子图（subgraph）：对于图G和图G'，若V(G') ⊆ V(G) 且 E(G') ⊆ E(G)，则称G'是G的子图。
- 生成子图（spanning subgraph）：指满足条件V(G')=V(G)的G的子图G'。
- 链(chain或walk)、轨迹(trail)、路径(path)：链是顶点vi和边ei交替出现的序列W=vi0ei0vi1...eikvik称作一个长度为k的链，其中vi0和vik为其端点，其余顶点为内部点。所有边都不相同的链称为轨迹（简称迹）。所有顶点都不相同的轨迹称为路径（简称路）。在有向图中，若链（迹、路）的方向和其中每条边的方向一致，则称其为有向链（迹、路）。
- 两端点相同的链和迹分别称为闭链（或环，cycle）、闭迹（或回路，circuit）。
- 距离（Distance）： 从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称作从u到v的距离。
特殊的图
正则图
正则图是指每个节点的邻居（neighbor）数量都相同的图，即每个节点的度都相同的图。节点的度为k的正则图也称作k-正则图。
完全图
完全图（complete graph）是指每对节点之间都有一条边相连的图。一张完全图包含简单图所有可能出现的边。
有限图
有限图（finite graph）是指点集和边集是有限集的图。否则，则称为无限图。在不加说明的情况下，图论中讨论的图大多是有限图。
连通图
在无向图中，如果存在x和y之间的路径，则称此两节点的无序对{x, y}是连通的；否则，则称此两点是非联通的。
连通图是指每对节点都连通的无向图。否则，则称图是非连通图。
在有向图中，如果存在x和y之间的有向路径，则称此两节点的有序对{x, y}是强连通的。此外，若将图中的所有边都换为无向边，得到的无向图中存在x和y之间的路径，则称此两节点是弱连通的。否则，则称此两点是非联通的。
强连通图是指每对节点都强连通的有向图。此外，弱连通图是指每对节点都弱联通的有向图。否则，则称图是非连通图。
对于一张图，若不存在大小为k − 1的点集或边集，使得从图中移除该集合后，图就变为非连通图，则称该图是k-点连通图或k-边连通图。k-点连通图通常也简称k-连通图。
二分图
二分图（bipartite graph）是指这样的简单图：其点集可以被划分称两个集合W和X，其中W中的任意两个节点之间没有边相连，X中的任意两个节点之间也没有边相连。二分图是点着色色数为2的图。
若一张图的点集是两个集合W和X的无交并，使得W中的任意节点都和X中的所有节点邻接，且W或X之内没有边，则称此图是完全二分图。
平面图
平面图是指可以将其节点和边画在平面上，而没有两边相交的图。
循环图
阶为n≥3的循环图（cycle graph）或环形图（circular graph）是指其节点可以列为v1, v2, …, vn，使得图中的边为{vi, vi+1，其中i=1, 2, …, n − 1，以及{vn, v1}。循环图的另一种定义是所有点的度都为2的连通图。如果循环图是另一个图的子图，则它是那个图中的一个环。
树和森林
树是指任意两点之间都有且仅有一条路径的无向图。等价地，树是一个连通无环无向图。
森林是指任意两点之间至多仅有一条路径的无向图。等价地，森林是一个无环无向图，或一组树的无交并。
其它特殊的图
一些进阶的特殊图包括：
例子
- 右边的图示是一个点集为V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}、边集为E = {{1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 6}}的图。
- 任意集合X上的二元关系R都可定义一个有向图。X中的元素x到y有一条边，当且仅当xRy。
- 有向图可以用于表示信息网络。例如，在推特上，用户之间的关注关系可以用有向图表示。
图运算
图上可以进行一些运算或变换，使一个图变为另一个图：
- 二元运算，结合两个图为一个新图，例如：
- 图的无交并（disjoint union of graphs），
- 图乘积，包括图的笛卡尔乘积（cartesian product of graphs）、图的张量积（tensor product of graphs）、图的强乘积（strong product of graphs）、图的字典积（lexicographic product of graphs）等，
- 图的串并联（series–parallel graph）等。
图的推广
在超图中，允许一条边连接多于两个节点。
无向图可以看作是由1-单纯形（边）和0-单纯形（节点）组成的单纯复形。由此，复形成为图的推广，其中允许维度更高的单纯形。
图可以看作是一种拟阵。
在模型论中，图是一个结构。这样一来，边的数量可以是任意基数。参见图极限。
在计算生物学中，幂图（power graph analysis）推广了无向图的定义。
在地理信息系统中，为了进行道路网络或电网的时空分析而提出的几何网络（geometric networks）的定义参考了图，并借用了许多图论的概念。
